[tex]\frac{1}{4x} + \frac{2}{3 - x} > 3[/tex]

avec x non égal à 0 ou 3 (sinon division par 0)

on va d'abord mettre au même dénominateur

[tex] \frac{1}{4x} + \frac{2 }{3 - x} \\ = \frac{1(3 - x)}{4x(3 - x)} + \frac{2(4x)}{4x(3 - x)} \\ = \frac{3 - x + 2 \times 4x}{4x(3 - x)} \\ = \frac{3 - x + 8x}{12x - 4 {x}^{2} } \\ = \frac{3 + 7x}{12x - 4 {x}^{2} }[/tex]

on a donc

[tex]\frac{3 + 7x}{12x - 4 {x}^{2} } > 3[/tex]

on multiplie des deux côtés par 12x-4x²

mais le sens de l'inégalité est conservé uniquement si 12x-4x² est positif

[tex]12x - 4 {x}^{2} > 0 \\ 4x(3 - x)[/tex]

donc 12x-4x²>0 entre 0 et 3

donc si x est situé entre 0 et 3

alors

[tex]3 + 7x > 3(12x - 4 {x}^{2} ) \\ 3 + 7x > 36x - 12 {x}^{2} \\ 12 {x}^{2} - 29x + 3 > 0[/tex]

delta =(-29)²-4×12×3=697

[tex]x(1) = \frac{29 - \sqrt{697} }{2 \times 12} = \frac{29 - \sqrt{697} }{24} [/tex]

et

[tex]x(2) = \frac{29 + \sqrt{697} }{24} [/tex]

ainsi 12x²-29x+3>0 pour x entre 0 et 3

si x <x(1) ou x>x(2) donc l'inégalité est vrai pour

[tex]0 < x < \frac{29 - \sqrt{697} }{24} \\ \frac{29 + \sqrt{697} }{24} < x < 3[/tex]

et si 12x-4x²<0 , c'est-à-dire si x entre - l'infini et 0 ou entre 3 et + l'infini

[tex]3 + 7x < 3(12x - 4 {x}^{2} ) \\ 12 {x}^{2} - 29x + 3 < 0[/tex]

x(1) et x(2) on déjà été calculés

donc cette inégalités vrai pour x entre x(1) et x(2) or x(1) et x(2) compris entre 0 et 3 or 12x-4x²<0 pour tout x sauf entre 0 et 3 donc cette inégalités n'a pas de solution entre - l'infini et 0 et entre 3 et l'infini

ainsi les seuls solutions de l'inéquation

sont

[tex]0 < x < \frac{29 - \sqrt{697} }{24} \\ \frac{29 + \sqrt{697} }{24} < x < 3[/tex]

Réponse :

Explications étape par étape :

écrire l'inéquations

(12x^2-29x+3)/x(-x+3)>0

résoudre(12x^2-29x+3)

x1=(29+V[tex]697[/tex])/24

x2=(29-V[tex]697[/tex])/24

solution de l'inéquation

0<x<x1  ou   x2<x<3