Bonjour, pouvez-vous m'aider et m'expliquer s'il vous plaît ?.... Pergunta de ideia deCassoune13

Cassoune13 @Cassoune13

December 2020 1 179 Report

Bonjour, pouvez-vous m'aider et m'expliquer s'il vous plaît ?

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godetcyril

Réponse : Bonjour,

1) Posons v(t)=1+t², alors v'(t)=2t. On remarque donc que:

$\displaystyle \frac{t}{(1+t^{2})^{2}}=\frac{1}{2}\frac{v'(t)}{v(t)^{2}}$

Et on a:

$\displaystyle \frac{v'(t)}{v(t)^{2}}=\left(-\frac{1}{v(t)}\right)'$

Donc une primitive de $\displaystyle t \mapsto \frac{t}{(1+t^{2})^{2}}$ sur [0;1] est:

$></p><p>2) On a:</p><p><img src=$

Donc I=K-L.

3) On a:

$\displaystyle \int_{0}^{1} \frac{t^{2}}{(1+t^{2})^{2}} \; dt=\left[t \times - \frac{1}{2(1+t^{2})}\right]_{0}^{1}-\int_{0}^{1} 1 \times -\frac{1}{2(1+t^{2})} \; dt\\=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2} \int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^{2}} \; dt=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}K$

4) On a:

$\displaystyle K=\int_{0}^{1} \frac{1}{1+t^{2}} \; dt=[\arctan(t)]_{0}^{1}=\arctan(1)-arctan(0)=\frac{\pi}{4}$

5) D'après la question 3:

$\displaystyle L=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2}K=-\frac{1}{4}+\frac{1}{2} \times \frac{\pi}{4}=-\frac{1}{4}+\frac{\pi}{8}=\frac{-2+\pi}{8}=\frac{1}{8}(\pi-2)$

D'après la question 2), I=K-L, donc:

$\displaystyle I=K-L=\frac{\pi}{4}-\left(-\frac{1}{4}+\frac{\pi}{8}\right)=\frac{\pi}{4}+\frac{1}{4}-\frac{\pi}{8}=\frac{2\pi}{8}-\frac{\pi}{8}+\frac{1}{4}=\frac{\pi}{8}+\frac{1}{4}\\ I=\frac{\pi+2}{8}=\frac{1}{8}(\pi+2)$