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Réponse:

Le vecteur AB⃗ dirige (AB)

AB(3-1; 1-2; 1+1)

AB(2;-1;2)

Une représentation paramétrique de (AB) passant par A et de vecteur directeur AB⃗ est

{x=2k+1

{y=-k+2

{z=2k-1, k appartenant a IR

C appartient à (AB) s'il existe un unique réel k solution du système :

{11=2k+1

{7=-k+2

{5=2k-1

{k=5

{k=-5

{k=4

Il n'existe pas de réel k unique solution du système donc C n'appartient pas à (AB).

4a.

Un vecteur directeur de (d) est u⃗ (1; 3; -1)

4b.

u⃗ et AB⃗ ne sont pas colinéaires donc les droites sont sécantes.

4c.

{-3+t = 2k+1

{4+3t = -k+2

{-5-t = 2k-1

{t = 2k+4

{ 4+3(2k+4) = -k+2

{ -5 -2k-4 = 2k -1

{ t = 2k+4

{ 7k = -14

{ -4k = 8

{ t = 2(-2)+4

{ k = -2

{ k = -2

{t = 0

{k= -2

On verifie

{-3+0=-4+1

{ 4+0=2+2

{ -5-0 = -4-1

Il existe 2 réels uniques k et t solutions du système donc les droites sont sécantes.

Avec t = 0 dans l'équation paramétrique de (d) on détermine les coordonnées du point d'intersection :

{ x = -3+0

{ y = 4+3×0

{ z = -5-0

Le point de coordonnées (-3; 4; -5) est le point d'intersection des droites (AB) et (d).