On precise que :

f est derivable sur IR* comme composée de fonctions de reference derivables sur IR*

On reconnaît que f est de la forme u×v avec u(x)=3x et v(x) = (1+ 2/x)¹⁰

u'(x) = 3 et v'(x) = 10×(-2/x²)×(1+2/x)⁹

Pour deriver v(x), on utilise la formule de cours (uⁿ)' = n×u'×uⁿ⁻¹ avec u(x)= 1+ 2/x

Ainsi f'(x) = 3(1 + 2/x)¹⁰ + 3x×10×(-2/x²)×(1+2/x)⁹

f'(x) = 3(1 + 2/x)¹⁰ - 60x/x² ×(1+2/x)⁹

f'(x) = 3(1 + 2/x)¹⁰ - (60/x)×(1+2/x)⁹

(1 + 2/x)⁹ est facteur commun

f'(x) = (1 + 2/x)⁹[ 3(1 + 2/x) - 60/x]

f'(x) = (1 + 2/x)⁹[ 3 + 6/x - 60/x]

f'(x) = (1 + 2/x)⁹[ 3 - 54/x]

f'(x) = (1 + 2/x)⁹[ (3x-54)/x]

f'(x) = [ (x + 2)/x]⁹[ (3x-54)/x]

x¹⁰ est toujours strictement positif sur IR*

3x-54 ≥ 0 <=> 3x ≥ 54 <=> x ≥ 18

(x+2)⁹ ≥ 0 <=> x + 2 ≥ 0 <=> x ≥ -2

Un nombre positif elevé a un exposant impair est positif

Un nombre negatif élevé à un exposant impair est negatif

On a le tableau de signe suivant ( voir photo )

x |-∞ -2 0 18 +∞

x¹° | + | + 0 + | +

3x-54 | - | - | - 0 +

(x+2)⁹ | - 0 + | + | +

f'(x) | + 0 - || - 0 +

| 0 || +∞ +∞

f(x) | / \ || \ /

| -∞ -∞ f(18)

L'etude des limites a deja été réalisée dans une precedente réponse. Je te laisse la reprendre