Bonjour ;

a.

u_(n + 1) = ((u_n) + 1)/((u_n) + 3)

= ((u_n) + 3 - 2)/((u_n) + 3) = 1 - 2/((u_n) + 3) .

b.

Procédons par récurrence .

Initialisation .

u_0 = 1 ; donc on a : 0 < u_0 ≤ 1 .

Hérédité .

Soit n ∈ IN .

Supposons qu'on a : 0 < u_n ≤ 1 ;

donc : 3 < u_n + 3 ≤ 4 ;

donc : 1/4 ≤ 1/(u_n + 3) < 1/3 ;

donc : - 1/3 < - 1/(u_n + 3) ≤ - 1/4 ;

donc : - 2/3 < - 2/(u_n + 3) ≤ - 1/2 ;

donc : 1/3 < 1- 2/(u_n + 3) ≤ 1/2 ;

donc : 1/3 < u_(n + 1) ≤ 1/2 ;

donc : 0 < u_(n + 1) ≤ 1 .

Conclusion .

Pour tout n nombre entier naturel , on a : 0 < u_n ≤ 1 .

c.

f ' (x) = ((x + 1) ' (x + 3) - (x + 3) ' (x + 1))/(x + 3)²

= (1 * (x + 3) - 1 * (x + 1))/(x + 3)²

= (x + 3 - x - 1)/(x + 3)²

= 2/(x + 3)² > 0 ;

donc f est strictement croissante .

d.

Initialisation .

On a : u_0 = 1 et u_1 = (1 + 1)/(1 + 3) = 2/4 = 1/2 .

Pour n = 1 ; on a : u_1 - u_0 = 1/2 - 1 = - 1/2 < 0 .

Hérédité .

Soit n ∈ IN* .

Supposons qu'on a : u_n - u_(n - 1) < 0 ;

donc : u_(n + 1) - u_n = 1 - 2/(u_n + 3) - 1 + 2/(u_(n - 1) + 3)

= 2(1/(u_(n - 1) + 3) - 1/(u_n + 3))

= 2((u_n + 3 - u_(n - 1) - 3))/((u_n + 3))(u_(n - 1))))

= 2(u_n - u_(n - 1))/((u_n + 3)(u_(n - 1)+3)) < 0 .

Conclusion .

Pour tout nombre n ∈ IN* , on a : u_n - u_(n - 1) < 0 ;

donc la suite (u_n) est strictement décroissante .