Réponse :

A(x)= x-1/x=(x²-1)/x après mise au même dénominateur

mais x²-1 c'est l'identité remarquable (x-1)(x+1)  donc f(x)=(x-1)(x+1)/x

tableau de signes pour déterminer le signe de cette expression

x   -oo            -1                 0                 +1                         +oo

(x-1)        -        I          -       I        -        0             +            

(x+1)       -        0          +     I       +          I              +              

 x            -        I        -        II        +         I              +

A(x)        -         0      +        II        -         0              +

f(x)=V(x-1/x) est définie si ce qu'il y a sous la racine carrée est >ou=0

donc Df=[-1;0[U[1;+oo[

valeurs aux bornes (limites)

f(-1)=0

si x tend vers 0- f(x) tend vers V(+oo)=+oo

f(1)=0  

si x tend vers+oo f(x) tend vers +oo

dérivée f(x) est de la forme V(u(x)) sa dérivée est u'(x)/ 2*V(u(x))

f'(x)=(1+1/x²)/2V(x-1/x)=(x²+1 )/[2x² *V(x-1/x)]

Cette dérivée f'(x) est toujours >0 mais f(x) n'a pas de nombre dérivé en -1 et 1  donc la fonction f(x) est toujours croissante sur son Df

Avec ceci dresse le tableau de variation de f(x) sur son Df.

Explications étape par étape