Bonjour pouvez-vous m’aider merci.... Pergunta de ideia delauraleo

lauraleo @lauraleo

December 2020 1 123 Report

Bonjour pouvez-vous m’aider merci

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francoismareau

Bonsoir,

1) Première méthode : On écrit le second membre sous forme exponentielle:

$\frac{\sqrt 3+ \mathrm{i}}{4}=\frac{1}{2}\times\frac{\sqrt 3+ \mathrm{i}}{2}=\frac{1}{2}\times \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{6}}$ dont on trouve facilement les deux racines carrées :

$\boxed{z=\pm \frac{1}{\sqrt2}\times \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}}$ .

2) Deuxième méthode : On cherche z sous forme algébrique.

On écrit $z=a+\mathrm{i}b$ avec $(a,b) \in \mathbb{R}^2$ .

On a alors : $z^2=a^2-b^2+2\mathrm{i}ab=\frac{\sqrt 3+\mathrm{i}}{4} \iff\left \{ {{a^2-b^2=\frac{\sqrt 3}{4}} \atop {2ab=\frac{1}{4}}} \right.$ en identifiant parties réelles et imaginaires.

A partir de (2), on trouve : $a=\frac{1}{8b}$ (b est non nul car la racine cherchée ne peut pas être réelle),

puis, en injectant dans (1) : $\frac{1}{64b^2}-b^2=\frac{\sqrt 3}{4} \iff \frac{1}{64}-b^4-\frac{\sqrt3}{4}b^2=0 \iff b^2=\frac{2-\sqrt 3}{8} \iff \boxed{b=\pm\frac{\sqrt 3-1}{#4}}$

et donc, tous calculs faits : $\boxed{a=\pm \frac{\sqrt 3+1}{4}}$ .

Ainsi : $\boxed{z=\pm\left(\frac{\sqrt 3+1}{4}+\mathrm{i}\frac{\sqrt 3-1}{4}\right)}$ .

3) En regroupant les deux résultats, on obtient :

$\pm\left(\frac{\sqrt 3+1}{4}+\mathrm{i}\frac{\sqrt 3-1}{4}\right)=\pm\frac{1}{\sqrt 2} \mathrm{e}^{\mathrm{i}\frac{\pi}{12}}=\pm\frac{1}{\sqrt 2}( \cos(\frac{\pi}{12})+\mathrm{i} \sin(\frac{\pi}{12}))}$ .