scoladan

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Bonjour,

A) A(6:3)

H ∈ (P) ⇒ H(x;x²)

AH minimum ⇒ AH² minimum

AH² = (x - 6)² + (x² - 3)²

= x² - 12x + 36 + x⁴ - 6x² + 9

= x⁴ - 5x² - 12x + 45

Soit f(x) = AH²

f'(x) = 4x³ - 10x - 12

= (x - 2)(4x² + 8x + 6)

= 2(x - 2)(2x² + 4x + 3)

Signe de 2x² + 4x + 3
Δ = 16 - 4x2x3 = -8 donc pas de racine

⇒ toujours positif
⇒ f'(x) est du signe de (x - 2)

x        -∞                    2                    +∞
x-2                -           0          +
f'(x)               -           0          +
f(x)          décrois.             crois.

lim f(x) quand x → -∞ = +∞
lim f(x) quand x → +∞ = +∞

f(2) = 16 - 20 - 24 + 45 = 17

Le minimum est atteint pour x = 2 / f(x) = 17

soit AH = √(17) et H(2;4)

H est aussi l'intersection de la tangente à (P) en x = 2 et de sa perpendiculaire passant par A

B) iz² -2z(barre) + 2 - i = 0

z = a + ib
z² = (a² - b²) + 2abi
zbarre = a - ib

i[(a² - b²) + 2abi] - 2(a - ib) + 2 - i = 0

[(a² - b²) + 2b - 1]i - 2ab - 2a + 2 = 0

⇒ a² - b² + 2b - 1 = 0          (1)
et -2ab - 2a + 2 = 0            (2)

(2) ⇒ ab + a - 1 = 0 ⇒ b = (1 - a)/a = 1/a - 1

(1) ⇔ a² - 1/a² - 1 + 2/a + 2/a - 2 - 1 = 0

⇔ (a⁴ - 1 - 4a² + 4a)/a² = 0

⇒ (a - 1)(a³ + a² - 3a + 1) = 0

⇔ (a - 1)(a - 1)(a² + 2a - 1) = 0

⇔ (a - 1)²(a - (-2 - √8)/2)(a + (-2 + √8)/2)

Donc 3 solutions :

a = 1

a = -1 - √2

a = -1 + √2

reste plus qu'a en déduire b = 1/a - 1

et à vérifier que je ne me sois pas planté qqpart ;)