Bonjour pouvez vous m'aider pour cet exercice de mathématiques, merci !
Soit (Un) une suite définie par Un+1=2Un-1 et U0=2
Soit (Vn) la suite définie par: Vn=Un-1.
1) Montrer que la suite (Vn) est une suite géométrique dont on donnera les éléments caractéristiques.
2) En déduire une expression de (Vn), en fonction de n.
3) En déduire une expression de (Un), en fonction de n
4) Exprimer la somme S=Vo+V1+...+Vn en fonction de n.
5) En déduire l'expression de la somme T=UO+U1+ ... + Un.
Soit (Un) une suite définie par Un+1=2Un-1 et U0=2
Soit (Vn) la suite définie par: Vn=Un-1.
1) Montrer que la suite (Vn) est une suite géométrique dont on donnera les éléments caractéristiques.
2) En déduire une expression de (Vn), en fonction de n.
3) En déduire une expression de (Un), en fonction de n
4) Exprimer la somme S=Vo+V1+...+Vn en fonction de n.
5) En déduire l'expression de la somme T=UO+U1+ ... + Un.
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Bonjour ,
1)
V(n+1)=U(n+1)-1
Mais U(n+1)=2U(n)-1 donc :
V(n+1)=2U(n)-1-1=2U(n)-2
V(n+1)=2[U(n)-1]
Mais U(n)-1=V(n) donc :
V(n+1)=2V(n) qui prouve que la suite (V(n)) est une suite géométrique de raison q=2 et de 1er terme V(0)=U(0)-1=2-1=1.
2)
On sait que :
V(n)=V(0)*q^n , soit :
V(n)=1*2^n
V(n)=2^n
3)
U(n)=V(n)+1 , donc :
U(n)=2^n+1
4)
S=1er terme x (1-q^nb de termes )/(1-q)
On (n+1) termes car on commence à V(0).
S=1 x (1-2^(n+1))/(1-2)
S= - (1-2^(n+1))
S=2^(n+1)-1
5)
A chaque terme de S , il faut ajouter 1 pour obtenir les termes de T.
Donc on ajoute (n+1) x 1 à S pour obtenir T, soit (n+1).
T=2^(n+1)-1+n+1
T=2^(n+1) + n