On sait que le triangle ABC est isocèle en A avec AB = 5 cm et BC = 5 cm
Donc AB = AC = 5 cm
par construction on sait aussi que le triangle BCE est isocèle en B car le point E appartient au cercle et le point C appartient aussi au cercle donc on a
BE = BC = 3 cm
dans le triangle ABC isocèle en A, on sait que les angles suivants sont égaux
angle ABC = angle BCA
dans le triangle BCE isocèle en B on sait que les angles suivants sont égaux
angle BEC = angle BCE
On constate donc l'on a bien deux angles identiques entre le triangle ABC et le triangle BCE :
angle BEC = angle BCE = angle ABC = angle BCA
donc les deux triangles ABC et BCE sont semblables
Comme les triangles sont semblables on a
ABC et BCE
AB / BC = AC/ BE = BC/CE
avec AB = AC = 5 cm et BE = BC = 3 cm
Application numérique
5/3 = 5/3 = 3 / CE
on a donc CE = 3×3/5= 9/5= 1,8 cm
comme les triangles ABC et BCE sont semblables on a :
l'aire du triangle BCE = A
l'aire du triangle ABC = B
B = (5/3)² × A et donc on en a B = 25/ 9 × A
donc A = 9/25 × B
ce qui signifie que l'aire du triangle BCE est 9/25 fois l'aire du triangle ABC
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Réponse :
Explications étape par étape :
On sait que le triangle ABC est isocèle en A avec AB = 5 cm et BC = 5 cm
Donc AB = AC = 5 cm
par construction on sait aussi que le triangle BCE est isocèle en B car le point E appartient au cercle et le point C appartient aussi au cercle donc on a
BE = BC = 3 cm
dans le triangle ABC isocèle en A, on sait que les angles suivants sont égaux
angle ABC = angle BCA
dans le triangle BCE isocèle en B on sait que les angles suivants sont égaux
angle BEC = angle BCE
On constate donc l'on a bien deux angles identiques entre le triangle ABC et le triangle BCE :
angle BEC = angle BCE = angle ABC = angle BCA
donc les deux triangles ABC et BCE sont semblables
Comme les triangles sont semblables on a
ABC et BCE
AB / BC = AC/ BE = BC/CE
avec AB = AC = 5 cm et BE = BC = 3 cm
Application numérique
5/3 = 5/3 = 3 / CE
on a donc CE = 3×3/5= 9/5= 1,8 cm
comme les triangles ABC et BCE sont semblables on a :
l'aire du triangle BCE = A
l'aire du triangle ABC = B
B = (5/3)² × A et donc on en a B = 25/ 9 × A
donc A = 9/25 × B
ce qui signifie que l'aire du triangle BCE est 9/25 fois l'aire du triangle ABC
Réponse :
a) montrer que les triangles ABC et BCE sont semblables
triangle ABC est isocèle en A ⇒ ^ABC = ^ACB
triangle BCE est isocèle en B car BC = BE (rayon du cercle C)
⇒ ^BCE = ^BEC
or ^ACB = ^BCE
^BAC = 180° - (^ABC + ^ACB) = 180° - 2 x ^ABC
et ^EBC = 180° - (^BCE + ^BEC) or ^BCE = ^ABC = ^ACB
= 180° - 2 x BCE
donc ^BAC = ^EBC
Donc les triangles ABC et BCE ont les mêmes angles donc les triangles ABC et BCE sont semblables
b) déduis-en la distance CE
BC/EC = AB/BE or BC = BE (rayon du cercle C)
3/CE = 5/3 ⇔ CE = 9/5 = 1.8 cm
c) exprimer l'aire du triangle BCE en fonction de l'aire du triangle ABC
sachant que le point E ∈ à l'intersection de C et (AC) ⇒ E est tangent à (C) ⇒ (BE) ⊥ (AE)
A(abc) = 1/2(BE x AC) ⇔ BE x AC = 2 x A(abc) ⇔ BE = 2 x A(abc)/AC
A(bce) = 1/2(BE x CE) ⇔ A(bce) = 1/2(2 x A(abc)/AC) x CE)
⇔ A(bce) = (CE/AC) x A(abc) = 9/5/5) x A(abc) = 9/25 x A(abc)
= 0.36 x A(abc)
Explications étape par étape :