Réponse :

f(x) = x³ - 24 x² + 180 x + 250   définie sur [5 ; 20] en millier d'emballages

1) a) calculer f '(x)

      f '(x) = 3 x² - 48 x + 180

  b) démontrer que, pour tout x de [5 ; 20], on a, f '(x) = 3(x - 10)(x - 6)

                 f '(x) = 3 x² - 48 x + 180

                         = 3(x² - 16 x + 60)

                         = 3(x² - 16 x + 60 + 64 - 64)

                         = 3(x² - 16 x + 64 - 4)

                         = 3((x - 8)² - 4)

                         = 3((x - 8 + 2)(x - 8 - 2)

                    f '(x) = 3(x - 6)(x - 10)

2) a) étudier le signe de f '(x) pour tout x de l'intervalle [5 ; 20]

          x        5            6             10             20  

       x - 6             -      0       +              +  

       x - 10            -                -     0        +

          P                +     0       -      0        +

f '(x) ≥ 0  sur l'intervalle  [5 ; 6]U[10 ; 20]

f '(x) ≤ 0   //          //          [6 ; 10]    

    b) construire le tableau de variation de f  sur  [5 ; 20]

        x     5                         6                          10                         20

       f(x)  675 →→→→→→→→ 682 →→→→→→→→→ 650 →→→→→→→→→ 2250

                       croissante         décroissante         croissante

c)   quel est le nombre d'emballages à fabriquer pour obtenir le coût minimal ? quel est alors ce coût minimal ?

    Le nombre d'emballages à fabriquer qui donne le coût minimal est 10 (en millier)  soit 10 000

ce coût minimal est de 650 €    

Explications étape par étape :