Explications étape par étape:

Bonsoir, ton exercice est plutôt calculatoire, sans trop être long, il te faut être méthodique (et bien connaître le cours, cela va sans dire).

a- En premier lieu, on exprimé u(n+1) en fonction de n, en remplaçant les n par n+1, dans l'expression de un, ce qui donne :

u(n+1) = -(n+1)^2 / n.

Ensuite, tu calcules formellement la différence :

u(n+1) - un = [- (n+1)^2 / n] - [-n^2 / (n-1)]

= [- (n-1)*(n+1)^2 / n(n-1)] + [n*n^2 / n(n-1)]

en réduisant au même dénominateur. On multiplie le membre de gauche par n-1, puis celui de droite par n en haut.

Ensuite : -(n-1)*(n+1)^2 = -(n-1)*(n+1)*(n+1) = - (n^2 - 1)*(n+1) (identité remarquable)

= - (n+1)*n^2 + n+1.

Ainsi, on peut sommer les 2 numérateurs :

- (n+1)*n^2 + n+1 + n*n^2 = n^2 * (n-(n+1)) + n+1 = -n^2 + n + 1.

Conclusion :

U(n+1) - Un = (-n^2 + n + 1) / n(n-1).

b) Pour n >= 2, le dénominateur est strictement positif. Il faut donc étudier le signe du numérateur, par le biais du discriminant, qui vaut 1 + 4 = 5.

Ainsi, 1 solution positive qui annule le numérateur :

n0 = (-1 - Rac(5)) / (-2) = (1 + Rac(5)) / 2 qui est inférieur à 2, on en tiendra donc pas compte.

Le coefficient devant n^2 étant négatif, l'expression est positive entre ses racines, et négative à l'extérieur.

On conclue donc que U(n) est strictement décroissante pour n >= 2.

De +, sa limite vaut - infini (on factorise par n^2, puis somme de limites). Ainsi, Un diverge.