Réponse :

Bonjour,

Explications étape par étape :

Soit P(n) la proposition:

[tex]P(n)\equiv (A=\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end {bmatrix}\ \Longrightarrow\ A^n=\begin{bmatrix}1 & na \\0 & 1 \end{bmatrix})\\[/tex]

• 1.Initialisation:

P(1) est vrai

[tex]P(1)\equiv (A=\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end {bmatrix}\ \Longrightarrow\ A^1=\begin{bmatrix}1 & 1*a \\0 & 1 \end{bmatrix})\\\\[/tex]

• 2. Hérédité:

[tex]P(n)\equiv (A=\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end {bmatrix}\ \Longrightarrow\ A^n=\begin{bmatrix}1 & na \\0 & 1 \end{bmatrix})\ est\ vrai \\\\\\A^{n+1}=A^n*A\\\\=\begin{bmatrix}1 & na \\0 & 1 \end{bmatrix}*\begin{bmatrix}1 & a \\0 & 1 \end{bmatrix}\\\\\\=\begin{bmatrix}1*1 + na*0 & 1*a+na*1 \\0*1+1*0&0*a+1*1 \end{bmatrix}\\\\\\=\begin{bmatrix}1 & (n+1)*a \\0&1 \end{bmatrix}\\\\\\[/tex]

[tex]P(n+1)\equiv (A=\begin{bmatrix}1&a\\0&1\end {bmatrix}\ \Longrightarrow\ A^{n+1}=\begin{bmatrix}1 & (n+1)a \\0 & 1 \end{bmatrix})\ est\ vrai \\[/tex]