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Réponse :

Explications étape par étape :

e(n + 1) = 40 000 * 0,89^(n + 1) + 13 000  

e(n) = 40 000 * 0,89^n + 13 000

donc e(n + 1) - e(n) = 40 000 * 0,89^(n + 1) - 40 000 * 0,89^n

e(n + 1) - e(n) = 40 000 * 0,89^n [ 0,89 – 1]  

e(n + 1) - e(n) = 40 000 * 0,89^n * 0,11

e(n + 1) - e(n) = - 440 * 0,89^n  

e(n + 1) - e(n) < 0 donc la suite (e(n)) est décroissante

L’empreinte carbone de l’entreprise diminue au cours du temps

la limite de la suite est 13 000 Donc à long terme l’empreinte carbone de l’entreprise tend vers 13 000

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Réponse :

a) exprimer e(n+1) - e(n)  en fonction de n

e(n+1) - e(n) = 40 000 x 0.89ⁿ⁺¹ + 13 000 - (40 000 x 0.89ⁿ + 13 000)

                   =  40 000 x 0.89ⁿ⁺¹ + 13 000 - 40 000 x 0.89ⁿ - 13 000

                   = 40 000 x 0.89ⁿ⁺¹ - 40 000 x 0.89ⁿ

                   = 40 000 x 0.89ⁿ x 0.89 - 40 000 x 0.89ⁿ

                   = 40 000 x 0.89ⁿ(0.89 - 1)

                   = - 0.11 x 40 000 x 0.89ⁿ

                   = - 4400 x 0.89ⁿ

donc  e(n+1) - e(n) = - 4400 x 0.89ⁿ

b) en déduire le sens de variation de la suite (e(n)). Interpréter le résultat pour cette situation

e(n+1) - e(n) = - 4400 x 0.89ⁿ      or  0.89ⁿ > 0  pour tout entier naturel n

et  - 4400 < 0   donc  - 4400 x 0.89ⁿ < 0

donc e(n+1) - e(n) < 0  ⇒ la suite (e(n)) est décroissante sur N

lim e(n) = lim (40 000 x 0.89ⁿ + 13 000) = 13 000

n→+ ∞      n→+∞

car lim 0.89ⁿ = 0   par produit  lim 40 000 x 0.89ⁿ = 0

      n→+∞                                    n→+∞

et par addition  lim e = 13 000

                          n→+∞

l'emprunt carbone diminue avec le temps et atteint au maximum la valeur de 13 000 t de CO2

Explications étape par étape :