Bonjour,

1.

I est le milieu de [AB] ⇔ AI = IB = ½ AB (vecteurs)

MA . MB = (MI + IA)(MI + IB)

⇔ MA . MB = MI² + MI . (IA+IB) + IA . IB

⇔ MA . MB = MI² - AI . IB

⇔ MA . MB = MI² - AI²

⇔ MA . MB = MI² - (½ AB)²

⇔ MA . MB = MI² - 1/4 . AB²

⇔ MA . MB = MI² - 16/4

⇔ MA . MB = MI² - 4

2. Pour k = -7, on a:

MI² - 4 = MA . MB = -7

Soit MI² = -3

Aucun point ne permet de vérifier cette égalité.

Pour k = -4:

MI² - 4 = -4 soit MI² = 0

M = I

L'ensemble des point M est donc le singleton {I}

Pour k = 0:

MI² - 4 = 0 ⇔ MI² = 4 ⇔ MI = 2

L'ensemble des point M est donc le cercle de centre I est de rayon 2

Pour k = 5

Je vous laisse faire (comme pour k = 0 mais rayon différent)

3.

Si k < - 4 alors Lk = ∅

Si k = -4 alors = {I}

Si k > -4 alors Lk = C(I ; √(k+4))

C(I ; √(k+4)) est le cercle de centre I est de rayon √(k+4)

4. ABC est équilatéral donc ICA = 30° et cos(ICA) = IC/AC

soit IC = AC . cos(30°) = AB . √3 / 2 = 2√3

C ∈ Lk ⇔ √(k+4) = 2√3 ⇔ k + 4 = 12 ⇔ k = 8