Très bien, voici une réponse détaillée à l'exercice 1 :
a) Le coefficient directeur d'une fonction affine est égal à la pente de sa représentation graphique. Pour déterminer la pente de la droite passant par les points A(0,-4) et B(2,3), on utilise la formule :
m = (yB - yA) / (xB - xA)
En remplaçant les coordonnées des points A et B, on obtient :
m = (3 - (-4)) / (2 - 0) = 7/2
Le coefficient directeur de la fonction f est donc m = 7/2.
b) Comme le coefficient directeur de f est positif, la fonction est croissante sur R.
c) Pour déterminer le signe de f sur R, on peut utiliser un tableau de signes. On choisit des valeurs arbitraires de r et on calcule les valeurs correspondantes de f(r). Ensuite, on détermine le signe de f(r) pour chaque intervalle de R. Voici le tableau de signes correspondant :
|r | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|f(r) | - | - | + | + |
On voit que f est négative sur l'intervalle (-∞;0), positive sur l'intervalle (0;2) et positive sur l'intervalle (2;+∞).
d) L'image de 1 par f est f(1), donc on calcule :
f(1) = (7/2) * 1 - 4 = -1/2
Ainsi, l'image de 1 par f est -1/2.
L'antécédent de 1 par f est la valeur de r telle que f(r) = 1. On résout donc l'équation :
(7/2) * r - 4 = 1
On trouve :
r = 5/7
L'antécédent de 1 par f est donc 5/7.
Ces résultats sont conformes aux réponses des questions b) et c) car ils montrent que f est croissante sur R, que sa valeur est négative sur l'intervalle (-∞;0) et positive sur l'intervalle (0;+∞), et que l'image de 1 par f est négative et que l'antécédent de 1 par f est plus grand que 1.
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Réponse:
Très bien, voici une réponse détaillée à l'exercice 1 :
a) Le coefficient directeur d'une fonction affine est égal à la pente de sa représentation graphique. Pour déterminer la pente de la droite passant par les points A(0,-4) et B(2,3), on utilise la formule :
m = (yB - yA) / (xB - xA)
En remplaçant les coordonnées des points A et B, on obtient :
m = (3 - (-4)) / (2 - 0) = 7/2
Le coefficient directeur de la fonction f est donc m = 7/2.
b) Comme le coefficient directeur de f est positif, la fonction est croissante sur R.
c) Pour déterminer le signe de f sur R, on peut utiliser un tableau de signes. On choisit des valeurs arbitraires de r et on calcule les valeurs correspondantes de f(r). Ensuite, on détermine le signe de f(r) pour chaque intervalle de R. Voici le tableau de signes correspondant :
|r | -∞ | 0 | 2 | +∞ |
|f(r) | - | - | + | + |
On voit que f est négative sur l'intervalle (-∞;0), positive sur l'intervalle (0;2) et positive sur l'intervalle (2;+∞).
d) L'image de 1 par f est f(1), donc on calcule :
f(1) = (7/2) * 1 - 4 = -1/2
Ainsi, l'image de 1 par f est -1/2.
L'antécédent de 1 par f est la valeur de r telle que f(r) = 1. On résout donc l'équation :
(7/2) * r - 4 = 1
On trouve :
r = 5/7
L'antécédent de 1 par f est donc 5/7.
Ces résultats sont conformes aux réponses des questions b) et c) car ils montrent que f est croissante sur R, que sa valeur est négative sur l'intervalle (-∞;0) et positive sur l'intervalle (0;+∞), et que l'image de 1 par f est négative et que l'antécédent de 1 par f est plus grand que 1.