bonjour

1)

a)

• courbe représentative de f (en bleu)

x      -∞         -4         -2         -1         0         1         2         4         +∞

1/x               -1/4       -1/2       -1          ||         1        1/2       1/4

                                  ↘                    ||                           ↘

c'est une hyperbole

• courbe représentative de g (en rouge)

c'est une droite

deux points si x = 0 alors g(0) = 1/2 A(0 ; 1/2)

si x = 3 alors g(3) = 2 B(3 ; 2)

b)

inéquation (1)    1/x - (x + 1)/2 ≥ 0

       <=>             f(x)  -  g(x)    ≥ 0

        <=>                f(x)  ≥ g(x)

résolution graphique

  les solutions de l'inéquation (1) sont les abscisses des points le la courbe f qui sont au-dessus de ceux de la courbe g

  ces deux courbes se coupent en

                              C(-2 ; -1/2)      et        D(1 ; 1)

  S = ]-∞ ; -2] U ]0 ; 1]

2)

résolution algébrique

 (1)    1/x - (x + 1)/2 ≥ 0  <=>  2/(2x) - x(x + 1) / 2x ≥ 0

                                     <=>  [2 - x(x + 1)] / 2x ≥ 0

                                     <=> (2 - x² - x) / 2x ≥ 0

                                      <=> (x² + x - 2) / 2x ≤ 0

on factorise le numérateur

discriminant du trinôme x² + x - 2 est

 Δ = b² − 4ac = 1² - 4*1*(-2) = 1 + 8 = 9 = 3²

x1 = (-1 + 3)/2 = 2/2 = 1  et   x2 = (-1 - 3)/2 = -4/2 = -2

(1) <=> (x - 1)(x + 2) / 2x ≤ 0

tableau des signes

   x                   -∞               -2                0                  1                    +∞

   x                            -                  -         0         +                   +

(x - 1)                        -                   -                    -       0           +

(x + 2)                      -          0       +                   +                    +

(x-1)(x+2)/2x             -           0       +        ||         -        0           +

                                              ////////////////                    ///////////

on retrouve :     S = ]-∞ ; -2] U ]0 ; 1]