Réponse :

Bonjour :)

Explications étape par étape

U2=1/(2-U1)

=1/(2-0)

=1/2

U3=1/(2-U2)

=1/(2-1/2)

=2/3

U4=1/(2-2/3)

=3/4

U5=1/(2-3/4)

=4/5

b)on peut conjecturé que Un est croissante

c)

Initialisation : vérifions que la propriété est vrai au premier rangn0:

Un≤Un+1

u1=0 et U2=1/2

u1≤U2

hérédité :

Supposons que la propriété est vrai au premier rang k≥0:

Uk≤uk+1

Démontrant que la propriété est vrai au rang suivant k+1:

Uk+1≥Un+2

on part de l’hypothèse de récurrence :

Uk≤Uk+1

1/uk ≤ 1/(uk+1)

1/(2-uk) ≤ 1/(2-uk+1)

Uk+1≤Uk+2

la propriété est donc héréditaire

Conclusion :

∀ n∈N, un≥0

bonne journée