Explications étape par étape:

1) 2BI + CB = 0 donc BI = (1/2)BC donc le point I est au milieu du segment [BC].

2) AB =(2/3) AJ donc AJ = (3/2) AB en multipliant par 3/2 de chaque côté, donc le point J se situe sur la droite AB, à 1,5 fois de la distance AB.

3) 4 AK = 3 AC donc AK = (3/4)AC donc K se situe à 0,75 fois la distance AC sur la droite AC.

4) Par Chasles : KI = KC + CI = KA + AC + CB + BI = (3/4)CA - CA + CB - (1/2)CB = - (1/4) CA + (1/2)CB.

5) En partant de l'égalité AB = (2/3) AJ on a, par Chasles : AB = (2/3) AK + (2/3)KJ = (1/2)AC + (2/3)KJ. Or AB = AC + CB d'où (2/3)KJ = AB - (1/2)AC = (1/2)AC + CB donc KJ = -(3/4)CA + (3/2)CB

6) On remarque facilement que KJ = 3 KI donc KJ et KI sont colinéaires.

7) Definition même de la colinéarité, entre 2 vecteurs partants du même point. On se fixe sur le point K, le point J se situe à 3 fois de KI, donc sur la droite KI. I, J et K sont clairement alignés.