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Bonjour,

Partie 1

1) (E) : y' + (1/RC)y = E/R

a) y' + (1/RC)y = 0

⇔ y'/y = -1/RC

⇒ en "primitivant" de chaque côté,

ln(|y|) = -t/RC + K

⇒ solutions de l'équation sans 2nd membre : y = ke^(-t/RC)

b) g(t) = a ⇒ g'(t) = 0

g solution de (E) ⇒ (1/RC)a = E/R

⇔ a = CE

soit g(t) = CE

⇒ Solutions de (E) : y(t) = CE + ke^(-t/RC)

2) a) A t = 0⁻, l'interrupteur est ouvert ⇒ q = 0

Condition initiale : y(0) = 0 (C)

b) y(0) = 0

⇔ CE + ke^(-t/RC) = 0

⇔ CE + k = 0

⇒ k = -CE

⇒ q(t) = CE(1 - e^(-t/RC ))

c) i(t) = dq/dt = -(E/R) x e^(-t/RC)

Partie 2

1) q(t) = CE(1 - e^(-t/RC ))

E = 10 V, R = 1000 Ω et C = 10⁻⁴ F

⇒ q(t) = 10⁻³(1 - e^(-10t))

et i(t) = 10⁻²e^(-10t)

2) lim q(t) en +∞ = 10⁻³ C

et q croissante sur [0 ; +∞[ car q'(t) = dq/dt = i(t) < 0

3) lim i(t) en +∞ = 0

et i'(t) = -10⁻¹e^(-10t) < 0 ⇒ i(t) décroissante sur [0 ; +∞[

4) i(t₀) = 10⁻³ A

⇔ 10⁻²e^(-10t₀) = 10⁻³

⇔ e^(-10t₀) = 0,1

⇒ -10t₀ = ln(0,1)

⇔ t₀ = -ln(0,1)/10 ≈ 0,23 s

5) a) primitive de i² = [10⁻²e^(-10t)]² = 10⁻⁴ x e^(-20t)

= 10⁻⁴ x (-1/20) x e^(-20t)

b)

W = 100 x [10⁻⁴ x (-1/20) x e^(-20t₀) - 10⁻⁴ x (-1/20) x e^(0)]

= -(10⁻²/20) x [e^(-20ln(0,1)/10) - 1]

= 5.10⁻⁴ x [100 - 1]

= 0,0495 J

c) comprend pas trop cette question