Réponse :

f(x) =(ax+b)lnx   sur ]1;+oo[ ; dérivée f'(x)=a*lnx+(1/x)*(ax+b)

Explications étape par étape

1) On deux inconnues il nous faut donc deux équations

on sait :

*que f(2)=0 soit (a*2+b)ln2=0 comme ln 2 n'est pas =0 il faut que 2a+b=0   équation (1)

* que f'(1)=1 (coefficient directeur de la tangente)

donc a*ln1+ (1/1)(a+b)=1 or ln1 =0 il reste  a+b=1     équation(2)

les solutions de ce système sont a=-1 et b=2 (programme de 3ème)

d'où f(x)=(-x+2)lnx

2) on note que f(x) est <0 sur ]0;1[ >0 sur ]1;2[  et <0 sur ]2;+oo[

g(x) doit donc être décroissante puis croissante puis décroissante  c'est donc la courbe 2 (verte) et qui mal représentée sur [1 ;2]  (tracé brouillon)

3-a) F(x) est une primitive de f(x) si la dérivée F'(x)=f(x)

Si on dérive F(x)  F'(x)=(2-x)lnx+(1/x)(2x-x²/2)-2+x/2=(2-x)lnx+0

F(x) est donc une primitive de f(x).

3-b) Calculons F(1)=0-2+1/4+15/4=2

Vu le tracé F(x) est bien celle du graphique.Par lecture F(1)=2 (courbe verte).

3c) Intégrale de 1à 2 de f(x)dx=F(2)-(F1)=il suffit de remplacer et de calculer (rien de compliqué)

Ceci représente l'aire  comprise entre la courbe et l'axe des abscisses sur [1;2] en u.a.