[tex]\overline M,\overline T[/tex] les évènements contraires.
On sait que:
1 personne sur 10000 est malade en Grèce, d'où [tex]P( M)=\dfrac{1}{10000}[/tex].
si une personne est malade, son test est positif dans 99% des cas, d'où : [tex]P_{M}(T)=\dfrac{99}{100}[/tex].
Si une personne n'est pas malade, le test est positif 1 fois sur 1000, soit [tex]P_{\overline M}(T)=\dfrac{1}{1000}[/tex].
Ces probabilités sont représentés sur l'arbre en pièce jointe (celui-ci n'est pas nécessaire mais peut aider à mieux comprendre les données de l'exercice).
On cherche la probabilité d'être vraiment malade si le test est positif, c'est à dire [tex]P_{T}(M)[/tex].
On sait que :
[tex]P_{T}(M)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}[/tex]
De plus, on a : [tex]P(M\cap T)=P(M)\times P_{M}(T)[/tex]
Lista de comentários
Bonjour !
On note :
[tex]M="La\ personne\ est\ malade."[/tex]
[tex]T="Le\ test\ est\ positif."[/tex]
[tex]\overline M,\overline T[/tex] les évènements contraires.
On sait que:
Ces probabilités sont représentés sur l'arbre en pièce jointe (celui-ci n'est pas nécessaire mais peut aider à mieux comprendre les données de l'exercice).
On cherche la probabilité d'être vraiment malade si le test est positif, c'est à dire [tex]P_{T}(M)[/tex].
On sait que :
[tex]P_{T}(M)=\frac{P(M\cap T)}{P(T)}[/tex]
De plus, on a : [tex]P(M\cap T)=P(M)\times P_{M}(T)[/tex]
D'où : [tex]P_{T}(M)=\frac{P(M)\times P_{M}(T)}{P(T)}[/tex] (#)
Nous connaissons [tex]P(M)[/tex] et [tex]P_M(T)[/tex].
Calculons [tex]P(T)[/tex].
D'après la formule des probabilités totales :
[tex]P(T)=P(M)\times P_{M}(T)+ P(\overline M)\times P_{\overline M}(T)\\P(T)=\dfrac{1}{10000}\times \dfrac{99}{100}+(1-\dfrac{1}{10000})\times\dfrac{1}{1000}\\P(T)\approx 0.001[/tex]
On n'a plus qu'à remplacer dans la formule (#) :
[tex]P_{T}(M)=\frac{\frac{1}{10000} \times \frac{99}{100} }{0.001}\approx0.09[/tex]
La probabilité qu'il soit réellement malade après un test positif est d'environ 0.09 (9%).
Bonne journée