Bonjour ;

1.

a.

10A = 7,777 777 777 .....;

donc : 10A - A = 7,777 777 777 ... - 0,777 777 777 ... = 7 ;

donc : 10A - A est un nombre entier naturel .

b.

On a : 10A - A = 7 ;

donc : (10 - 1)A = 7 ;

donc : 9A = 7 ;

donc : A = 7/9 .

c.

Première méthode :

B = 5,7 = 5 + 0,7 = 5 + 7/9 = 45/9 + 7/9 = 52/9 .

Deuxime méthode :

On calcule : 10B - B = 57,7 - 5,7 = 52 ;

donc : 9B = 52 ;

donc : B = 52/9 .

2.

Il faut multiplier C par 10000 et non par 1000 .

C = 0,2019 ;  

donc : 10000C - C = 2019,2019 - 0,2019 = 2019 ;

donc : (10000 - 1)C = 2019 ;

donc : 9999C = 2019 ;

donc : C = 2019/9999 = 673/3333 .

3.

a.

D = 6,25 347 ;

donc : E = 100D = 625,347 = 625 + 0,347

= 625 + 347/999 = 624375/999 + 347/999 = 624722/999 .

On a donc : D = E/100 = 624722/99900 .

b.

On a : F = 1,052 86 ;

donc : 1000F = 1052 + 0,86 = 1052 + 86/99

= 104148/99 + 86/99 = 104234/99 ;

donc : F = 104234/99000 .

4.

a.

k/9 = 0,k .

b.

On peut conjecturer que si k = 9 ;

alors : k/9 = 0,9 .

c.

On a G = 0,9 = 0,99999999 ... ;

donc : 10G = 9,99999 ... ;

donc : 10G - G = 9 ;

donc : 9G = 9 ;

donc : G = 1 ;

donc : G = 0,9 = 1 .