Bonjour,

1) La longueur totale du ruban est de L = 1 m.

Avec cette longueur on doit encadrer une photo carrée de périmètre 4xc et une photo ronde de périmètre 2πR.

On en déduit que : 4c + 2πR = 1 (m)

⇔ c = 1/4 - πR/2

2) Surface du cadre carré : s1 = c²

Surface du cadre rond : s2 = πR²

Surface totale S = s1 + s2 = c² + πR²

soit, en remplaçant c par (1/4 - πR/2) :

S = (1/4 - πR/2)² + πR²

= 1/16 - 2 x (1/4) x (πR/2) + (πR/2)² + πR²

= 1/16 - πR/4 + π²R²/4 + πR²

= (π + π²/4)R² - (π/4)R + 1/16

3) a) S = aR² + bR + c est un trinôme du 2nd degré.

avec a = (π + π²/4) > 0, b = -π/4 et c = 1/16

S est donc minimale pour R = -b/2a

soit : R = (π/4)/2(π + π²/4)

= 1/(4 +π)

S vaut alors :

S = (π + π²/4)R² - (π/4)R + 1/16

= (π + π²/4).(1/(4 + π)² - (π/4).(1/(4 + π) + 1/16

= [π(4 + π)/4]/(4 + π)² - π/4(4 + π) + 1/16

= π/4(4 + π) - π/4(4 + π) + 1/16

= 1/16 m²

b) R = 1/(4 +π) soit s2 = π/(4 + π)²

et c = 1/4 - πR/2 = 1/4 - π/2(4 + π) = [2(4 + π) - 2π]/4(4 + π) = 2/(4 + π)