Bonjour,

1.

Soit x réel différent de 1

simplifions l'expression de f(x) en utilisant la partie conjuguée

[tex]\dfrac{\sqrt{x^2+x+2}-2}{x-1}=\dfrac{\sqrt{x^2+x+2}-2}{x-1} \times \dfrac{\sqrt{x^2+x+2}+2}{\sqrt{x^2+x+2}+2}\\\\=\dfrac{(\sqrt{x^2+x+2})^2-2^2}{(\sqrt{x^2+x+2}+2)(x-1)}\\\\=\dfrac{x^2+x+2-4}{(\sqrt{x^2+x+2}+2)(x-1)}\\\\=\dfrac{x^2+x-2}{(\sqrt{x^2+x+2}+2)(x-1)}\\\\=\dfrac{(x-1)(x+2)}{(\sqrt{x^2+x+2}+2)(x-1)}\\\\=\dfrac{x+2}{\sqrt{x^2+x+2}+2}[/tex]

et quand x tend vers 1, ceci tend vers

[tex]\dfrac{1+2}{2+2}=\dfrac{3}{4}[/tex]

f est continue pour x différent de 1 car quotient/somme/combinaison de fonctions continues

En 1 nous avons bien que la limite de f(x) existe et vaut f(1) donc f est continue sur tout IR

2.

Il faut regarder le taux d'accroissement en 1

soit h différent de 0

[tex]f(1)=\dfrac{3}{4}\\\\f(1+h)=\dfrac{\sqrt{(1+h)^2+1+h+2}-2}{1+h-1}\\\\f(1+h)=\dfrac{\sqrt{1+2h+h^2+1+h+2}-2}{h}\\\\f(1+h)=\dfrac{\sqrt{h^2+3h+4}-1}{h}\\\\f(1+h)=\dfrac{\sqrt{h^2+3h+4}-2}{h}\\[/tex]

Ainsi

[tex]\dfrac{f(1+h)-f(1)}{h}=\dfrac1{h} \times ( \dfrac{\sqrt{h^2+3h+4}-2}{h}-\dfrac{3}{4} )\\\\=\dfrac{4(\sqrt{h^2+3h+4}-2)-3h}{4h^2}\\\\=\dfrac{4\sqrt{h^2+3h+4}-8-3h}{4h^2}\\\\=\dfrac{16(h^2+3h+4)-(3h+8)^2}{4h^2(4\sqrt{h^2+3h+4}+8+3h)}\\\\=\dfrac{16h^2+48h+64-9h^2-48h-64}{4h^2(4\sqrt{h^2+3h+4}+8+3h)}\\\\=\dfrac{7h^2}{4h^2(4\sqrt{h^2+3h+4}+8+3h)}\\\\=\dfrac{7}{4(4\sqrt{h^2+3h+4}+8+3h)}\\[/tex]

Et ceci tend vers

[tex]\dfrac{7}{4(4*2+8)}=\dfrac{7}{48}[/tex]

quand h tend vers 0

donc f est dérivable en 1

3.

f est dérivable pour x différent de 1 car quotient de fonction qui le sont.

Merci