Réponse :

Montrer par récurrence que pour tout n ≥ 1

1³ + 2³ + 3³ + ..... + n³ = n²(n+1)²/4

P(n) : 1³ + 2³ + 3³ + ..... + n³ = n²(n+1)²/4

- initialisation : vérifions que pour n = 1  ; P(1) est vraie

       1³ + 2³ + 3³ + ..... + 1³ = 1 =  1²(1+1)²/4 = 2²/4 = 1  donc P(1) est vraie

- hérédité  soit un entier n ≥ 1; supposons que P(n) est vraie et montrons que P(n+1) est vraie

1³ + 2³ + 3³ + ..... + n³ = n²(n+1)²/4

1³ + 2³ + 3³ + ..... + n³ + (n+1)³ = n²(n+1)²/4  + (n + 1)³

                                               = n²(n²+2n+1)/4 + 4(n²+2n+1)(n+1)/4

 = (n⁴ + 2n³ + n²)/4 + 4(n³ + n² + 2n² + 2n + n + 1)/4

 =  (n⁴ + 2n³ + n²)/4 + 4(n³ + 3n² + 3n + 1)/4    

 =  (n⁴ + 2n³ + n² + 4n³ + 12n² + 12n + 4)/4

 = (n⁴ + 6n³ +13 n² + 12n + 4)/4

= (n+1)²(n+2)²/4       car  (n+1)²(n+2)² = n⁴ + 6n³ +13 n² + 12n + 4

donc  P(n+1) est vraie

- conclusion  :  P(1) est vraie et P(n) est héréditaire au rang n

donc par récurrence  P(n) est vraie pour tout entier naturel n ≥ 1

Explications étape par étape :