Bonjour, Pouvez-vous m'aider ?.... Pergunta de ideia deCassoune13

June 2019 1 195 Report

Bonjour,
Pouvez-vous m'aider ?

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1. a) $T(j\omega)=\dfrac 1{1-j}=\dfrac{1+j}{(1-j)(1+j)}=\dfrac{1+j}{1^{2}-j^{2}}=\dfrac{1+j}2=\dfrac 12+\dfrac j2$

b) $\rho=\left\vert T(j\omega)\right\vert=\sqrt{\left(\dfrac 12\right)^{2}+\left(\dfrac 12\right)^{2}}=\sqrt{\dfrac 24}=\dfrac{\sqrt 2}{\sqrt 4}=\dfrac{\sqrt 2}2$

Si $\theta=\mathrm{Arg}(T(j\omega))$ , alors :

$\cos(\theta)=\dfrac{\mathrm{Re}(T(j\omega))}\rho=\dfrac{\sqrt 2}2$

$\sin(\theta)=\dfrac{\mathrm{Im}(T(j\omega))}\rho=\dfrac{\sqrt 2}2$

Donc $\theta=\dfrac\pi4 [2\pi]$

c) Je ne sais pas quelle est ta notation pour la forme trigonométrique (il en existe plusieurs). J'écris : $T(j\omega)=\left[\dfrac{\sqrt 2}2;\dfrac\pi4\right]=\dfrac{\sqrt 2}2e^{\frac\pi4j}$

2. a) $T(j\omega)=\dfrac 1{1-\frac ju}=\dfrac{u(u+j)}{(u-j)(u+j)}=\dfrac{u^{2}+uj}{u^{2}-j^{2}}=\dfrac{u^{2}+uj}{u^{2}+1}=\dfrac{u^{2}}{u^{2}+1}+\dfrac u{u^{2}+1}j$

b) Comme $u>0$ ,

$G(u)=\sqrt{\left(\dfrac{u^{2}}{u^{2}+1}\right)^{2}+\left(\dfrac u{u^{2}+1}\right)^{2}}=\sqrt{\dfrac{u^{2}(u^{2}+1)}{(u^{2}+1)^{2}}}=\dfrac u{\sqrt{u^{2}+1}}$ .

Donc :

$\cos(\theta(u))=\dfrac x{G(u)}=\dfrac{\dfrac{u^{2}}{u^{2}+1}}{\dfrac u{\sqrt{u^{2}+1}}}=\dfrac u{\sqrt{u^{2}+1}}$

$\sin(\theta(u))=\dfrac y{G(u)}=\dfrac{\dfrac{u}{u^{2}+1}}{\dfrac u{\sqrt{u^{2}+1}}}=\dfrac 1{\sqrt{u^{2}+1}}$

c) Il est clair que $x>0$ , donc $\theta(u)$ peut être choisi dans $\left]-\dfrac\pi2;\dfrac\pi2\right[$ et donc comme

$\tan(\theta(u))=\dfrac yx=\dfrac{\dfrac u{\sqrt{u^{2}+1}}}{\dfrac{u^{2}}{\sqrt{u^{2}+1}}}=\dfrac 1u$ , on en déduit que $\theta(u)=\arctan\left(\dfrac 1u\right)$ .

d) $\theta'(u)=-\dfrac 1{u^{2}}\times\dfrac 1{1+\left(\dfrac 1u\right)^{2}}=-\dfrac 1{u^{2}+1}$ .

e) On a clairement $\theta'(u)<0$ pour tout $u>0$ , donc $\theta$ est strictement décroissante sur $\left]0;+\infty\right[$ .

f) Lorsque $u$ tend vers $0$ (par valeurs positives nécessairement), $\dfrac 1u$ tend vers $+\infty$ , donc $\theta(u)$ tend vers $\dfrac\pi2$ .

Lorsque $u$ tend vers $+\infty$ , $\dfrac 1u$ tend vers $0$ , donc $\theta(u)$ aussi.

i) On obtient le demi-cercle qui relie les points d'affixes $0$ et $1$ et contenu dans le demi-plan supérieur privé de ses extrémités.

Pour le construire, j'ai fait une demi-droite d'origine (0,0) et passant par (1,0), j'ai placé un point A sur cette demi-droite, puis dans la barre de saisie j'ai tapé B=(x(A)^2/(x(A)^2+1),x(A)/(x(A)^2+1)) et j'ai fait tracé le lieu du point B lorsque A bouge sur la demi-droite.

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Cassoune13 Merci beaucoup pour votre ca ma permis de mieux comprendre

Cassoune13 Bonjour, pouvez-vous m'aider s'il vous plaît ?https://nosdevoirs.fr/devoir/2134769