Réponse :

Bonjour pouvez vous m'aidez a résoudre cet exercice ? Merci beaucoup !

{u0 = 6

{un+1 = 1/2) x un  + 1    pour tout n ∈ N

1) u1 = 1/2) u0  + 1 = 1/2) x 6 + 1 = 4

  u2 = 1/2) u1 + 1 = 1/2) x 4 + 1 = 3

2) soit  vn = un - 2

v0 = u0 - 2 = 6 - 2 = 4

v1 = u1 - 2 = 4 - 2 = 2

v2 = u2 - 2 = 3 - 2 = 1

v3 = u3 - 2  = 2.5 - 2 = 0.5

3) pour tout entier naturel n;  (vn) est une suite géométrique de raison 1/2

4) vn = un - 2   donc  un = vn + 2

    vn+1 = qvn = 1/2)vnv1/v0 = v2/v1 = v3/v2 = ...... = vn+1/vn = 1/2

donc vn+1 = 1/2)vn  

(vn) est géométrique de raison q = 1/2 et de premier terme v0 = 4

5)  vn = v0 x qⁿ = 4 x (1/2)ⁿ

un = vn + 2 = 4(1/2)ⁿ + 2

6) (1/2)ⁿ⁺¹ - (1/2)ⁿ = 1/2 x (1/2)ⁿ - (1/2)ⁿ = (1/2)ⁿ(1/2 - 1) = - 1/2 x (1/2)ⁿ = - (1/2)ⁿ⁺¹

7)  un+1 - un = vn+1 + 2 - vn - 2 = vn+1 - vn = 4(1/2)ⁿ⁺¹ + 2 - 4(1/2)ⁿ - 2

      = 4(1/2)ⁿ⁺¹ - 4(1/2)ⁿ

      = 4((1/2)ⁿ⁺¹ - (1/2)ⁿ)

       = 4(- (1/2)ⁿ⁺¹)

       = - 4(1/2)ⁿ⁺¹    or  (1/2)ⁿ⁺¹  > 0   et - 4 < 0  donc - 4(1/2)ⁿ⁺¹ < 0

donc  un+1  - un < 0    donc (un) est décroissante sur N  

Explications étape par étape :