Réponse :

1)  a) comment peut-on traduire cette hypothèse pour n ?

n est un nombre pair  ⇔ n = 2 k   avec  k ∈ Z

b) comment peut-on traduire cette hypothèse pour p ?

p est un nombre impair  ⇔ p = 2 k' + 1   avec  k' ∈ Z

2) démontrer que la somme d'un nombre pair et d'un nombre impair est un nombre impair

            n + p = 2 k + 2 k' + 1 = 2(k+k') + 1       k ∈ Z et k' ∈ Z  

donc (k + k') ∈ Z   et posons  k" = k + k'  donc  k" ∈ Z

         on aura :  n + p = 2 k" + 1  est un nombre impair

3) démontrer la parité du produit d'un nombre pair et d'un nombre impair

      n x p = 2 k x (2 k' + 1)    avec  k , k'  ∈ Z

               = 4 kk' + 2 k

               = 2(2kk' + k)       kxk' ∈ Z  et  (2kk' + k) ∈ Z  et posons k" = 2kk'+k

donc  k" ∈ Z  donc  n x p = 2 x k"  est un nombre pair

Explications étape par étape :