scoladan

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Bonjour,

1) Repère (K;KB,KA)

K(0;0), B(1;0), A(0;1)

K milieu de [BC] ⇒ C(-1;0)

KI = 1/2KB + 1/2KA

et KI(xI;yI) ⇒ xI = 1/2 et yI = 1/2 ⇒ I(1/2;1/2)

KJ = -1/2KB + 1/2KA

et KJ(xJ;yJ) ⇒ xJ = -1/2 et yI = 1/2 ⇒ J(-1/2;1/2)

2) équation de la droite (KA) : x = 0

équation de (BJ) : y = ax + b

B(1;0) ∈ (BJ) ⇒ a + b = 0                                         (1)
J(-1/2;1/2) ∈ (BJ) ⇒ 1/2 = -a/2 + b ⇔ 1 = -a + 2b  (2)

(1) ⇒ a = -b
(2) ⇔ 1 = 3b ⇔ b = 1/3

⇒ (BJ) : y = -x/3 + 1/3

G = (BJ) ∩ (KA) ⇒ G(0;1/3)

3) CI(1/2 - (-1) ; 1/2 - 0) soit CI(3/2;1/2)

CG(0 - (-1) ; 1/3 - 0) soit CG(1 ; 1/3)

⇒ 3/2 * CG = CI

⇒ CG et CI colinéaires

⇒ C, G et I alignés

⇒ G ∈ (CI)

4) ...que G est l'intersection des médianes

donc que G est le centre de gravité de ABC

5) AG(0;1/3 - 1) ⇒ AG = 2/3 * AK  ⇒ k = 2/3

BG(1/3 - 1; 0) ⇒ ... BG = 2/3 * BJ ⇒ k' = 2/3

et ... k" = 2/3

G se trouve au 2/3 de chaque médiane en partant de leur sommet respectif