Réponse :

1) démontrer que les droites (AB) et (DC) sont parallèles

on utilisera la colinéarité des vect(AB) et vect(DC)

vect(AB) = (x ; y) = (2 ;3)

vect(DC) = (x' ; y')  = (4 ; 6)   sont colinéaires si xy' - x'y = 0

2 * 6 - 4 *3 = 12 - 12 = 0   Donc les vecteurs AB et DC sont colinéaires

on en déduit que les droites  (AB) et (DC) sont parallèles

2)

1) déterminer les coordonnées des points K , L et M  milieux respectifs des segments (AD) , (BC) et (AC)

K :  xk = - 2-1)/2 = - 3/2

     yk = - 2 + 3)/2 = 1/2

K(-3/2 ; 1/2)

L : xl = 2+1)/2 = 3/2

    yl = 4+6)/2 = 5

L(3/2 ; 5)

M :  xm = 2-1)/2 = 1/2

      ym = 4+3)/2 = 7/2

M(1/2 ; 7/2)  

2) démontrer, à l'aide de vecteurs que les points K , L et M sont alignés

vect(KL) et vect(KM) sont colinéaires s'il existe un réel k tel que

  vect(KL) = k x vect(KM)

vect(KL) = (3/2 + 3/2 ; 5 - 1/2) = (3 ; 9/2)

vect(KM) = (1/2+3/2 ; 7/2 - 1/2) = (2 ; 3)

(3 ; 9/2) = k x (2 ; 3)

⇒ 2 k = 3 ⇒ k = 3/2

   3 k = 9/2 ⇒ k = 3/2

les vecteurs KL et KM sont donc colinéaires

on en déduit que les points K , L et M sont alignés

3) donner les équations des droites (AB) et (DC)

     que remarquez - vous ?

droite (AB)  d'équation y = a x + b

a : coefficient directeur = (6-3)/(1+1) = 3/2

y = 3/2) x + b

3 = - 3/2 + b ⇒ b = 3 + 3/2 = 9/2

Donc l'équation de (AB) est : y = 3/2) x + 9/2

(DC)  y = a x + b

a = (4+2)/(2+2) = 6/4 = 3/2

y = 3/2) x + b

- 2 = - 3 + b ⇒ b = 1

l'équation de (DC) est  y = 3/2) x + 1

les droites (AB) et (DC) ont le même coefficient directeur

 donc  (AB) et (DC) sont //

Explications étape par étape