Réponse :
Explications étape par étape :
D'abord, la question 2 se base .. sur les données de la question 1.
2)
M. et R. évoluent en ligne droite, à vitesses constantes.
Les trajectoires sont-elles // ?
Les trajectoires sont // si leurs taux d'accroissement sont les mêmes.
2 droites parallèles ont le même coeff. directeur a
Donc ici :
Pour M : il va de (0,0) à (65 , 0) en 10 s.
taux₁ = différence des y sur difference des x
taux₁ = (72 - 0) / (65 - 0)
taux₁ = 72 / 65 environ 1,107
Pour R = il va de (442 , 442) à (490 , 497) en 10 s.
taux₂ = (497- 442) / (490 - 442 )
taux₂ = 55 / 48 environ 1,145
Conclusion : Si les trajectoires étaient //, les taux d'accroissement
(y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) seraient identiques. Or ils sont différents.
Les trajectoires ne sont pas //
3) équations des droites dR et dM ?
Pour dM (trajectoire de M.) , on a un point de départ (0,0)
Comme c'est une droite passant par l'origine, on appelle ça une équation linéaire : y = a.x
On a déjà calculé a : taux₁ = 72 / 65
donc l'équation de dM est : y = (72/65) x
Vérification : Pour l'autre point connu de la trajectoire : (65, 72)
verifie-t-on l'équation ? 72 = (72/65) 65 = 72 OK !
Pour dR : on a un point de départ (442,442) et un coeff.directeur 55 / 48.
L'équation de la droite est affine a priori, c'est-à-dire :
y = ax + b
avec a = 55/48 . il faut trouver b
Remplaçons x et y par 442 et 442 :
442 = (55/48 ) 442 + b on permute :
(55/48 ) 442 + b = 442 on enlève (55/48 ) 442 dans les deux membres
b = 442 - (55/48 ) 442 on factorise 442
b = 442 (1 - 55/48) on réduit au même dénominateur
b = 442 ( 48/48 - 55/48)
b = 442 ( 48 - 55) / 48
b = 442 ( -7) / 48
b = - 3094 / 48
finalement : dR a pour équation :
y = (55/48) x - 3094 / 48 qu'on peut aussi écrire :
y = 1/48 ( 55 x -3094)
Vérification pour le point (442,442)
442 = 1/48 (55(442) -3094) = 1/48(21216) = 442 OK !
Vérification pour le point (490, 497)
497 = 1/48 ( 55 fois 490 - 3094) = 1/48 ( 23856) = 497 OK!
4) Intersection I des 2 trajectoires dM et dR ?
le point I est de coordonnées (j,k) . Cherchons j et k.
I vérifie les 2 équations de dM et dR
l'équation de dM est : y = (72/65) x pour un point (x,y)
Ici, on a décidé d'appeler les coord. j et k, donc :
k= (72/65) j
l'équation de dR est : y = 1/48( 55 x -3094)
Pour le point I (j,k), cela donne :
k = 1/48 ( 55 j -3094)
ce qui nous donne un système de 2 équa à 2 inconnues :
On a là deux expressions pour k
On en déduit :
(72/65) j = 1/48 ( 55 j -3094)
On développe
(72/65) j = (1/48)(55 j) - (1/48)3094
(72/65) j - (1/48)(55 j) = - (1/48)3094 on inverse les signes
- (72/65) j + (1/48)(55 j) = (1/48)3094 on arrange l'ordre
55/48 j - 72/65 j = 3094 / 48
on factorise j
j( 55/48 - 72/65) = 3094 / 48
j (55 x 65 - 72x 48)/ (48x65) = 3094 /48
j (3575 - 3456)/ (48 . 65 ) = 3094 / 48
j (119) /( 48 fois 65 ) = 3094 / 48
j = (3094 / 48 ) ( 48 fois 65 /119)
j = (3094 fois 48 fois 65) / (48 fois 119)
j = (3094 fois 65) /119
j= 201110 /119 = 1690
on en déduit k = 72/65 j
k= (72/65) (1690)
k = 1872
Donc le point I est de coordonnées ( 1690 , 1872)
environ (1690 ; 1872 )
vérification :
ce point sur l'équation de dM
k= (72/65) j ?
1872 = (72/65) 1690 = 1872 OK !
ce point sur l'équation de dR :
1872 = 1/48( 55 . 1690 -3094) = 1/48 (89856) =1872 OK!
OK, mais est-ce que l'impact a lieu ? Pour cela il faut qu'ils y arrivent au même moment.
On sait que M a parcouru en 10s la distance entre le point (0,0) et le point (65 , 72)
On sait aussi que son abscisse est passée de 0 à 65 en 10 secondes.
Donc de 0 à 6,5 en une seconde.
Pour atteindre I, son abscisse doit s'être accrue de 1690.
Il aura mis en seconde pour arriver à I autant de fois qu'il y a (6,5) dans (1690 - 0) , càd :
1690/6,5 = 260 secondes.
Pour R : Elle est passée de l'abscisse 65 (temps zéro) à l'abscisse 490 en 10 secondes.
Son abscisse s'est accrue de 425 en 10 secondes, donc de 42,5 en une seconde.
Pour atteindre l'abscisse 1690 du point I, son abscisse doit s'accroitre de
1690 - 65 = 1625
Elle aura mis en secondes autant de fois qu'il y a (42,5) dans 1625, càd :
1625 / 42,5 = 38,23 secondes
Il n'y a pas impact : partis au meme moment, ils arrivent en I à des temps différents en I.
5)
Dans l'introduction, on dit que Matt attend d'avoir suffisament d'infos sur la position de R. pour se porter à son secours.
Si on dit que la distance est celle entre I et l'origine :
distance parcourue par M = d = √ ( 1690²+1872²) = √(2 856 100 + 3 504 384 = √ 6 360 484 = 2522 mètres
Pour R : la distance parcourue entre le point au temps 0, à savoir (442, 442) et le point I est :
d₂ = √[ (1690-442)² + (1872-442)²
=√[ (1248)² + (1430)²]
=√[ 1 557 504 + 2 044 900]
=√[3 602 404]
= 1898 mètres
6) M a mis 260 secondes pour arriver au point d'interception. Mais R y est arrivée en un peu plus de 38 s. M n'intercepte pas R.
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Réponse :
Explications étape par étape :
D'abord, la question 2 se base .. sur les données de la question 1.
2)
M. et R. évoluent en ligne droite, à vitesses constantes.
Les trajectoires sont-elles // ?
Les trajectoires sont // si leurs taux d'accroissement sont les mêmes.
2 droites parallèles ont le même coeff. directeur a
Donc ici :
Pour M : il va de (0,0) à (65 , 0) en 10 s.
taux₁ = différence des y sur difference des x
taux₁ = (72 - 0) / (65 - 0)
taux₁ = 72 / 65 environ 1,107
Pour R = il va de (442 , 442) à (490 , 497) en 10 s.
taux₂ = (497- 442) / (490 - 442 )
taux₂ = 55 / 48 environ 1,145
Conclusion : Si les trajectoires étaient //, les taux d'accroissement
(y₂ - y₁) / (x₂ - x₁) seraient identiques. Or ils sont différents.
Les trajectoires ne sont pas //
3) équations des droites dR et dM ?
Pour dM (trajectoire de M.) , on a un point de départ (0,0)
Comme c'est une droite passant par l'origine, on appelle ça une équation linéaire : y = a.x
On a déjà calculé a : taux₁ = 72 / 65
donc l'équation de dM est : y = (72/65) x
Vérification : Pour l'autre point connu de la trajectoire : (65, 72)
verifie-t-on l'équation ? 72 = (72/65) 65 = 72 OK !
Pour dR : on a un point de départ (442,442) et un coeff.directeur 55 / 48.
L'équation de la droite est affine a priori, c'est-à-dire :
y = ax + b
avec a = 55/48 . il faut trouver b
Remplaçons x et y par 442 et 442 :
442 = (55/48 ) 442 + b on permute :
(55/48 ) 442 + b = 442 on enlève (55/48 ) 442 dans les deux membres
b = 442 - (55/48 ) 442 on factorise 442
b = 442 (1 - 55/48) on réduit au même dénominateur
b = 442 ( 48/48 - 55/48)
b = 442 ( 48 - 55) / 48
b = 442 ( -7) / 48
b = - 3094 / 48
finalement : dR a pour équation :
y = (55/48) x - 3094 / 48 qu'on peut aussi écrire :
y = 1/48 ( 55 x -3094)
Vérification pour le point (442,442)
442 = 1/48 (55(442) -3094) = 1/48(21216) = 442 OK !
Vérification pour le point (490, 497)
497 = 1/48 ( 55 fois 490 - 3094) = 1/48 ( 23856) = 497 OK!
4) Intersection I des 2 trajectoires dM et dR ?
le point I est de coordonnées (j,k) . Cherchons j et k.
I vérifie les 2 équations de dM et dR
l'équation de dM est : y = (72/65) x pour un point (x,y)
Ici, on a décidé d'appeler les coord. j et k, donc :
k= (72/65) j
l'équation de dR est : y = 1/48( 55 x -3094)
Pour le point I (j,k), cela donne :
k = 1/48 ( 55 j -3094)
ce qui nous donne un système de 2 équa à 2 inconnues :
k= (72/65) j
k = 1/48 ( 55 j -3094)
On a là deux expressions pour k
On en déduit :
(72/65) j = 1/48 ( 55 j -3094)
On développe
(72/65) j = (1/48)(55 j) - (1/48)3094
(72/65) j - (1/48)(55 j) = - (1/48)3094 on inverse les signes
- (72/65) j + (1/48)(55 j) = (1/48)3094 on arrange l'ordre
55/48 j - 72/65 j = 3094 / 48
on factorise j
j( 55/48 - 72/65) = 3094 / 48
j (55 x 65 - 72x 48)/ (48x65) = 3094 /48
j (3575 - 3456)/ (48 . 65 ) = 3094 / 48
j (119) /( 48 fois 65 ) = 3094 / 48
j = (3094 / 48 ) ( 48 fois 65 /119)
j = (3094 fois 48 fois 65) / (48 fois 119)
j = (3094 fois 65) /119
j= 201110 /119 = 1690
on en déduit k = 72/65 j
k= (72/65) (1690)
k = 1872
Donc le point I est de coordonnées ( 1690 , 1872)
environ (1690 ; 1872 )
vérification :
ce point sur l'équation de dM
k= (72/65) j ?
1872 = (72/65) 1690 = 1872 OK !
ce point sur l'équation de dR :
1872 = 1/48( 55 . 1690 -3094) = 1/48 (89856) =1872 OK!
OK, mais est-ce que l'impact a lieu ? Pour cela il faut qu'ils y arrivent au même moment.
On sait que M a parcouru en 10s la distance entre le point (0,0) et le point (65 , 72)
On sait aussi que son abscisse est passée de 0 à 65 en 10 secondes.
Donc de 0 à 6,5 en une seconde.
Pour atteindre I, son abscisse doit s'être accrue de 1690.
Il aura mis en seconde pour arriver à I autant de fois qu'il y a (6,5) dans (1690 - 0) , càd :
1690/6,5 = 260 secondes.
Pour R : Elle est passée de l'abscisse 65 (temps zéro) à l'abscisse 490 en 10 secondes.
Son abscisse s'est accrue de 425 en 10 secondes, donc de 42,5 en une seconde.
Pour atteindre l'abscisse 1690 du point I, son abscisse doit s'accroitre de
1690 - 65 = 1625
Elle aura mis en secondes autant de fois qu'il y a (42,5) dans 1625, càd :
1625 / 42,5 = 38,23 secondes
Il n'y a pas impact : partis au meme moment, ils arrivent en I à des temps différents en I.
5)
Dans l'introduction, on dit que Matt attend d'avoir suffisament d'infos sur la position de R. pour se porter à son secours.
Si on dit que la distance est celle entre I et l'origine :
distance parcourue par M = d = √ ( 1690²+1872²) = √(2 856 100 + 3 504 384 = √ 6 360 484 = 2522 mètres
Pour R : la distance parcourue entre le point au temps 0, à savoir (442, 442) et le point I est :
d₂ = √[ (1690-442)² + (1872-442)²
=√[ (1248)² + (1430)²]
=√[ 1 557 504 + 2 044 900]
=√[3 602 404]
= 1898 mètres
6) M a mis 260 secondes pour arriver au point d'interception. Mais R y est arrivée en un peu plus de 38 s. M n'intercepte pas R.