Bonjour, puis-je avoir de l'aide s'il vous plait? Pour la question 2
Soit la fonction f définie sur R pas f(x) = x³-3x.
1) Etudier la variation de f sur R (j'ai réussi à la faire : de -∞ à -1, la courbe augmente, de -1 à 1 elle diminue et de 1 à +∞ elle augmente)
2) En déduire que si a et b sont dés réels de l'intervalle [-1;1] tels que a inférieur à b alors a³-b³ supérieur à 3(a-b)
Soit la fonction f définie sur R pas f(x) = x³-3x.
1) Etudier la variation de f sur R (j'ai réussi à la faire : de -∞ à -1, la courbe augmente, de -1 à 1 elle diminue et de 1 à +∞ elle augmente)
2) En déduire que si a et b sont dés réels de l'intervalle [-1;1] tels que a inférieur à b alors a³-b³ supérieur à 3(a-b)
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Réponse :
Explications étape par étape :
1. f(x) = x³ - 3x
f'(x) = 3x² - 3
f'(x) = 3(x² - 1)
f'(x) = 3(x - 1)(x+1)
Tableau de variations de f
x -∞ -1 1 +∞
x + 1 - 0 + | +
x - 1 - | - 0 +
f'(x) + 0 - 0 +
f -∞ croissante 2 décroissante -2 croissante
2.
Sur l'intervalle [-1 ; 1], f est décroissante
a < b ⇒ f(a) > f(b (unr fonction décroissante inverse le sens de l'inégalité)
a < b ⇒ a³ - 3a > b³ - 3b
⇒ a³ - b³ > -3b + 3a
⇒ a³ - b³ > 3(a - b)