Bonjour

Ex 1

1) [AB] et [CD] sont 2 diamètres du même cercle or le diamètre d'un cercle ne changent pas donc

AB = CD

Ce qui signifie aussi que les segments formant les 2 triangles (rayons du cercle) font la même longueur. Les 2 triangles sont donc des triangles isocèles (2 côtes de même longueur), leur base est donc égale elle aussi.

Ce sont donc des triangles égaux.

2) On en déduit donc que ces 2 segments sont de même longueur.

Ex 2

1) Les triangles OAE et OBF ont tout d'abord un côté de même longueur (le rayon du cercle) ainsi qu'un 2ème de même longueur (AE = FB) de ce fait le 3ème côté est forcément de la même longueur. Ces triangles sont donc égaux ce qui signifient qu'ils ont les mêmes angles.

3) Les triangles OEF est isocèle car sa base ses deux côtés (hors base) sont de même longueur comme on l'a vu précédemment.

Réponse :

EX1

1) démontrer que les triangles OAC et OBD sont égaux

 ^AOC = ^BOD  (angles opposés par le sommet)

  OA, OB, OC et OD sont des rayons du cercle  donc OA = OB = OC = OD

d'après la propriété du cours , si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés deux à deux de même longueur, alors ces deux triangles sont égaux

En effet;  on a  ^AOC = ^BOD  (angles opposés par le sommet)

et OA = OB et OC = OD

Donc les triangles OAC et OBD sont égaux

2) qu'en déduit-on pour les segments (AC) et (BD)

puisque OAC et OBD sont des triangles égaux  donc ils ont des côtés deux à deux égaux

OA = OB  ; OC = OD  et AC = BD

donc  AC = BD

EX2

1) justifier que  ^OAE = ^OBF

le triangle AOB est isocèle en O   car OA = OB  (rayon du cercle)

donc ^OAB = ^OBF

2) démontrer que les triangles OAE et OBF sont égaux

puisque ^OAE = ^OBF   et OA = OB  ; AE = BF

 d'après la propriété du cours , si deux triangles ont un angle de même mesure compris entre deux côtés deux à deux de même longueur, alors ces deux triangles sont égaux

Donc les triangles OAE et OBF sont égaux

3) en déduire la nature du triangle OEF

puisque OAE et OBF sont égaux  dont leurs côtés sont deux à deux égaux

donc OE = OF  et donc OEF est un triangle isocèle en O

ex4

1) démontrer que ^OBB' = ODD'

(BB') ⊥ (AC) et (DD') ⊥ (AC)  donc  (BB') // (DD')  d'après la propriété du cours

les droites // (BB') et (DD') sont coupées par une droite sécante en B et D

donc les angles ^OBB' et ODD' sont des angles alternes- internes

donc ils sont égaux   ⇔ ^OBB' = ^ODD'

2) démontrer que ODD' et OBB' sont deux triangles égaux

⇔ ^OBB' = ^ODD'  et  OB = OD  et ^BOB' = ^D'OD (angles opposés par le sommet

donc les triangles ODD' et OBB' sont égaux

3) en déduire que O est le milieu (D'B')

puisque  les triangles ODD' et OBB' sont égaux donc leurs côtés sont deux à deux égaux  donc OD' = OB'  ⇒ O est le milieu de (D'B')

4) démontrer que DD'BB' est un parallélogramme

puisque  OD' = OB'  et OB = OD  donc  O est le milieu des diagonales (BD) D'B')

donc les diagonales (D'B') et (BD) se coupent au même milieu donc   DD'BB' est un parallélogramme  

Explications étape par étape :