bonjour quelqu'un peut m'aider la question 3 a (étudier les variations de f.....).... Pergunta de ideia deflifoxrassas

flifoxrassas @flifoxrassas

December 2020 1 120 Report

bonjour quelqu'un peut m'aider
la question 3 a (étudier les variations de f.....)

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godetcyril

Réponse : Bonjour,

a) i) Soient a et b deux réels de l'intervalle [0;2], tel que $a \leq b$ .

Alors $a-b \leq 0$ , et $ab \geq 0$ .

Comme:

$\displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b}=1-\frac{4}{ab}=\frac{ab-4}{ab}$

Comme $a, b \in [0;2]$ , alors nécessairement $ab \leq 4$ , donc $ab-4 \leq 0$ .

On en déduit que $\displaystyle \frac{ab-4}{ab} \leq 0$ , d'où $\displaystyle 1-\frac{4}{ab} \leq 0$ , et enfin $\displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \leq 0$ .

Comme $a-b \leq 0$ , alors nécessairement $f(a)-f(b) \geq 0$ , et donc $f(a) \geq f(b)$ .

Comme on a pris a et b tels que $a \leq b$ , et que l'on a $f(a) \geq f(b)$ , alors on en déduit que f est décroissante sur l'intervalle [0;2].

ii) Soient a et b deux réels de l'intervalle [2;+∞[, tel que $a \leq b$ .

On procède de la même manière que précédemment et cette fois-ci, comme $a, b \in [2;+\infty[$ , on en déduit que $ab-4 \geq 0$ .

Donc $\displaystyle \frac{ab-4}{ab} \geq 0$ , donc $\displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \geq 0$ , et donc $f(a)-f(b) \leq 0$ , d'où $f(a) \leq f(b)$ .

Donc f est croissante sur l'intervalle $[2; +\infty[$ .

iii) Soient a et b de l'intervalle [-2; 0], tels que $a \leq b$ .

On a donc que $0 \leq ab \leq 4$ , donc $ab-4 \leq 0$ .

On en déduit que $\displaystyle \frac{ab-4}{ab} \leq 0$ , et donc que $\displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \leq 0$ , et que $f(a)-f(b) \geq 0$ , d'où $f(a) \geq f(b)$ .

On en déduit que f est décroissante sur l'intervalle [-2; 0].

iv) Enfin, soient a et b appartenant à l'intervalle ]-∞; 2], tels que $a \leq b$ .

Alors $ab \geq 4$ , et donc $ab-4 \geq 0$ .

On en déduit que $\displaystyle \frac{ab-4}{ab} \geq 0$ , et donc que $\displaystyle \frac{f(a)-f(b)}{a-b} \geq 0$ .

On en déduit que $f(a)-f(b) \leq 0$ , d'où $f(a) \leq f(b)$ .

Donc f est croissante sur l'intervalle ]-∞; 2].

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