Réponse :

Bonjour

Soit P(n) la propriété : Tₙ = 1 - 3ⁿ

Initialisation

1 - 3⁰ = 1 - 1 = 0

or T₀ = 0

donc P(0) est vraie

Hérédité

Soit un certain n tel que P(n) soit vraie, c'est à dire que Tₙ = 1 - 3ⁿ. On cherchera à montrer que P(n+1) est vraie, c'est à dire que Tₙ₊₁ = 1 - 3ⁿ⁺¹

On a Tₙ₊₁ = 3Tₙ - 2 (par définition)

donc Tₙ₊₁ = 3(1 - 3ⁿ) - 2 (par hypothèse de récurrence)

Tₙ₊₁ = 3 - 3ⁿ⁺¹ - 2

Tₙ₊₁ = 1 - 3ⁿ⁺¹

P(n+1) est donc vraie, la propriété est héréditaire

Conclusion

L'initialisation vérifiée, et l'hérédité démontrée, on peut conclure que pour tout n entier naturel, Tₙ = 1 - 3ⁿ