Bonjour,

1)

[tex]e^{2t-1}=5\\\\ln(e^{2t-1})=ln(5)\\\\2t-1=ln(5)\\\\t=\dfrac{ln(5)+1}{2}[/tex]

D'où [tex]\mathcal{S}=\Bigg\{ \dfrac{ln(5)+1}{2} \Bigg \}[/tex]

2)

[tex]ln(x-3)\leq 0\\\\e^{(ln(x-3))}\leq e^{0}\\\\x-3\leq 1\\x\leq 4[/tex]

Or, la fonction [tex]ln[/tex] est définie telle que [tex]ln > 0[/tex].

D'où [tex]\mathcal{S}=]3;4][/tex]

3)

[tex]e^{2x+3}-1\geq 3\\\\e^{2x+3}\geq 4\\\\ln(e^{2x+3})\geq 2ln(2)\\\\2x+3\geq 2ln(2)\\\\x\geq ln(2)-\dfrac{3}{2}[/tex]

D'où [tex]\mathcal{S}=\Bigg[ln(2)-\dfrac{3}{2} ;+\infty[[/tex]

4)

[tex]ln(x)+ln(x-1)=ln(6)\\\\ln(x\times (x-1))=ln(6)\\ \\ln(x^{2} -x)=ln(6)\\\\x^{2} -x=6\\\\x^{2} -x-6=0[/tex]

Le discriminant de ce polynôme vaut :

[tex]\Delta=(-1)^{2}-4\times 1\times (-6)=25[/tex]

Il existe deux racines distinctes :

[tex]x_{1}=\dfrac{1-5}{2}=-2\\ \\x_{2}=\dfrac{1+5}{2}=3\\[/tex]

Or, [tex]ln(x-1) > 0[/tex] donc [tex]x > 1[/tex]

D'où [tex]\mathcal{S}=\{3\}[/tex]

5)

On détermine le plus petit nombre entier positif [tex]n[/tex] tel que :

[tex](0,8)^{n}\leq 0,2\\\\ln((0,8)^{n})\leq ln(0,2)\\\\n\times ln(0,8)\leq ln(0,2)\\\\n\geq \dfrac{ln(0,2)}{ln(0,8)}[/tex]car [tex]ln(0,8) < 0[/tex]

[tex]n\geq 7,212...[/tex]

[tex]n=8[/tex]

En espérant t'avoir aidé.