Réponse :

1) il suffit de remplacer - 2  dans le polynôme  P(- 2) = (-2)³ + (- 2)² + 4

P(- 2) = - 8 + 4 + 4 = 0   donc - 2 est bien une racine de P

2) il faut développer P(z) = az³ + bz² + cz + 2a z² + 2b z + 2c

                                         = az³ + (b + 2a) z² + (2b + c) z + 2c

a = 1

b+2a = 1  ⇔ b = 1 - 2 = - 1  

2b + c = 0

2c = 4   ⇔ c = 2

donc  P(z) = (z + 2)(z² - z + 2)

3) P(z) = 0

Δ = 1 - 8 = - 7     or  i² = - 1  donc Δ = 7i² > 0  ⇒ 2 racines dans C

z1 = (1 + i√7)/2

z2 = (1 - i√7)/2

Explications étape par étape :