Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

1)

a)

Voir graph joint.

b)

f(x) < 0 pour x ]-∞;2[ et > 0 pour x ∈ ]2;+∞[

2)

f '(x)=3x²+2x-1

f '(x) est < 0 entre ses racines car le coeff de x² est > 0.

Δ=2²-4(3)(-1)=16

√16=4

x1=(-2-4)/6=-1

x2=(-2+4)/6=1/3

Variation :

x-------->-∞...................-1....................1/3...................+∞

f '(x)---->............+.........0.........-..........0...........+..............

f (x)---->............C.........-9........D.......-275/27....C.......

C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.

3)

Lim f(x)= lim x³=-∞

x-->-∞

lim f(x)=lim x³=+∞

x-->+∞

Sur ]-∞;-1], f(x) est continue et strictement croissante avec f(-1)=-9 .

Donc sur cet intervalle , f(x) < 0.

Sur ][-1;1/3], f(x) est continue et strictement décroissante passant de la valeur -9 à la valeur -275/27.

Donc sur cet intervalle , f(x) < 0

Sur [1/3;+∞[ , f(x) est strictement croissante passant d'une valeur négative à des valeurs positives.

Donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires , il existe un unique réel α tel que f(α)=0.

La calculatrice donne α=2.

Tableau de signes :

x----------->-∞...................2..................+∞

f(x)-------->..........-.............0.........+...........

Voir graph joint.