Réponse :

bonjour quelqu'un pourrait il m'aider svp

merci d'avance

Démontrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, on a

1/(1+√2) + 1/(√2 + √3) + 1/(√3+√4) + .........+ 1/(√n + √(n+1) = √(n+1) - 1

raisonnement par récurrence

on note  P(n) : 1/(1+√2) + 1/(√2 + √3) + 1/(√3+√4) + .........+ 1/(√n + √(n+1) = √(n+1) - 1

. initialisation ; vérifions que pour n = 1 ; P(1) est vraie

1/(1+√2) + 1/(√2 + √3) + 1/(√3+√4) + .........+ 1/(√1 + √(1+1) = √(1+1) - 1

donc  1/(1+√2) =  (1 - √2)/(1+√2)(1 - √2) = (1 - √2)/(1 - 2) = - 1 + √2 = √2 - 1

DONC  P(1) est vraie

. hérédité : soit un entier n  et supposons que P(n) est vraie et montrons que P(n+ 1) est vraie

H.R  : 1/(1+√2) + 1/(√2 + √3) + 1/(√3+√4) + .........+ 1/(√n + √(n+1) = √(n+1) - 1

1/(1+√2) + 1/(√2 + √3) + 1/(√3+√4) + .........+ 1/(√n + √(n+1) + 1/(√(n+1) + √(n+2)) = √(n+1) - 1 + 1/(√((n+1)+√(n+2))

or  √(n+1) - 1 + 1/(√((n+1)+√(n+2))

    √(n+1) - 1 + (√(n+1) -√(n+2)/(√((n+1)+√(n+2))(√(n+1) -√(n+2))

    √(n+1) - 1 + (√(n+1) -√(n+2)/(n+1-n-2)

     (√(n+1) - 1 - √(n+1) + √(n+2)

      √(n+2) - 1

donc P(n+1) est vraie

. conclusion :  P(1) est vraie  et P(n) est héréditaire au rang n

donc par récurrence P(n) est vraie pour tout entier naturel n ≥ 1      

Explications étape par étape :