Réponse :

Bonjour

Explications étape par étape :

Exo 1 :

1)

f '(x)=6x+(4/2√x)=6x+(2/√x)

2)

De la forme u*v :

u=-3x²+4x donc u'=6x+4

v=x-1 donc v '=1

f '(x)=u'v+uv'=(6x+4)(x-1)-3x²+4x=....tu arranges ça.

3)

f(x)=-4/(1+exp(1-2x)

La dérivée  de -4/u est  -(-4u')/u² soit 4u'/u².

Ici u=1+exp(1-2x) qui donne u'=-2exp(1-2x)

Donc :

f '(x)=-8*exp(1-2x)/[1+exp(1-2x)]²

4)

La dérivée de ln(u) est u'*1/u.

Ici :

u=ln(x-3) donc u'=1

f '(x)=1 - 4/(x-3)=(x-3-4)/(x-3)=(x-7) / (x-3)

Exo 2 :

1)

C '(x)=3x²-20x+50

qui est  < 0 entre les racines , sinon > 0

Δ=b²-4ac=(-20)²-4(3)(50)=-200 < 0

Pas de racines  donc C '(x) > 0 donc C(x) strictement croissante pour tout x >  0.

2)

a)

B(x)=300x-(x³-10x²+50x)

B(x)=-x³+10x²+250x

b)

-x³+10x²+250x=0

x(-x²+10x+250)=0

1ère racine : x=0

On va donc résoudre :

-x²+10x+250=0

Δ=10²-4(-1)(250)=1100

La racine négative :

x=(-10+√1100)/-2 ≈ -11.6

La racine positive est :

x=(-10-√1100)/-2 ≈ 21.6

3)

a)

B '(x)=-3x²+20x+250

qui est >  0 entre ses racines.

Δ=20²-4(-3)(250)=3400

x1=(-20+√3400)/-6 ≈ -6.4

x2=(-20-√3400)/-6 ≈ 13

b)

Variation de B(x) :

x------->0..................13..............20

B '(x)--->........+...........0......-..........

B(x)----->........C.........?........D.......

C=flèche qui monte et D=flèche qui descend.

Donc B(x) max pour x=13 et vaut B(13)=2743 €.

4)

...rentable si et seulement si la production est comprise entre  1  et 21 appareils produits.

B(x) max pour x=13 et vaut B(13)=2743 €.

Voir  graph joint.