bonjour quelqu'un pourrait m'expliquer cette exercice svp ..... Pergunta de ideia decynthiabilap8

cynthiabilap8 @cynthiabilap8

October 2020 1 121 Report

bonjour quelqu'un pourrait m'expliquer cette exercice svp .

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godetcyril

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Réponse : Bonjour,

1) Démontrons par récurrence que pour tout $n \in \mathbb{N}, u_{n} \geq n+1$ .

Initialisation: Pour n=0, $u_{0}=1$ , et $u_{0} \geq 0+1$ , donc la propriété est vérifiée à l'ordre n=0.

Hérédité: Supposons la propriété vraie à l'ordre n, c'est à dire que $u_{n} \geq n+1$ , et montrons là à l'ordre n+1, que $u_{n+1} \geq n+1+1$ , il faut donc montrer que $u_{n+1} \geq n+2$ .

On remarque que $u_{n+1}=f(u_{n})$ , avec $f(x)=1+x^{2}$ .

Étudions les variations de f sur [0:+∞[.

$f'(x)=2x$ , donc $f'(x) \geq 0$ sur [0;+∞[, donc f est croissante sur [0;+∞[.

D'après l'hypothèse de récurrence:

$u_{n} \geq n+1\\f(u_{n}) \geq f(n+1) \quad car \; f \; est \; croissante \; sur \; [0;+\infty[\\ u_{n+1} \geq 1+(n+1)^{2} \\ u_{n+1} \geq 1+n^{2}+2n+1 \\ u_{n+1} \geq n^{2}+2n+2$

Or $n^{2}+2n+2=n^{2}+n+n+2 \geq n+2 \quad car \; n \; entier \; naturel$ .

On a donc montré que $u_{n+1} \geq n+2$ , la propriété est donc vérifiée à l'ordre n+1, donc d'après le principe de récurrence, pour tout n entier naturel, $u_{n} \geq n+1$ .

2) Pour tout n entier naturel, $u_{n} \geq n+1$ .

Or $\lim_{n \mapsto +\infty} n+1=+\infty$ , on en déduit donc que $\lim_{n \mapsto +\infty} u_{n}=+\infty$ .