1-Pour montrer que AB = DC, il suffit de calculer les coordonnées de AB et de DC et de vérifier qu'elles sont égales.
Les coordonnées de AB sont :
AB = B - A = (1, -1) - (2, 0) = (-1, -1)
Les coordonnées de DC sont :
DC = C - D = (-2, 2) - (-1, 3) = (-1, -1)
On constate que les coordonnées de AB et DC sont identiques, donc AB = DC.
2-Le fait que AB = DC nous indique que les diagonales AC et BD se coupent en leur milieu, c'est-à-dire que le quadrilatère ABCD a un centre de symétrie. On peut donc en déduire que ABCD est un quadrilatère particulier appelé un parallélogramme.
3-Pour montrer que ABCD est un rectangle, il faut démontrer que ses quatre angles sont droits. Pour cela, nous allons montrer que les diagonales AC et BD sont perpendiculaires, car dans un parallélogramme, les diagonales sont perpendiculaires si et seulement si le quadrilatère est un rectangle.
Le vecteur AC est :
AC = C - A = (-2, 2) - (2, 0) = (-4, 2)
Le vecteur BD est :
BD = D - B = (-1, 3) - (1, -1) = (-2, 4)
Le produit scalaire entre AC et BD est :
AC . BD = (-4, 2) . (-2, 4) = (-4) x (-2) + 2 x 4 = 8 + 8 = 16
On constate que le produit scalaire est différent de zéro, donc les vecteurs AC et BD ne sont pas orthogonaux. Cependant, si on calcule le produit scalaire entre AC et BD perpendiculaire à BD, qui est le vecteur (-4, -2), on obtient :
AC . (-4, -2) = (-4) x (-4) + 2 x (-2) = 16 - 4 = 12
Le produit scalaire est différent de zéro, donc les vecteurs AC et BD perpendiculaires à BD sont orthogonaux. On en déduit que les diagonales AC et BD sont perpendiculaires, donc ABCD est un rectangle.
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ney40
Merci beaucoup pour la 1 et la 2 !! Mais pour la 3 , je suis en seconde on a jamais vu ce vocabulaire :/
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1-Pour montrer que AB = DC, il suffit de calculer les coordonnées de AB et de DC et de vérifier qu'elles sont égales.
Les coordonnées de AB sont :
AB = B - A = (1, -1) - (2, 0) = (-1, -1)
Les coordonnées de DC sont :
DC = C - D = (-2, 2) - (-1, 3) = (-1, -1)
On constate que les coordonnées de AB et DC sont identiques, donc AB = DC.
2-Le fait que AB = DC nous indique que les diagonales AC et BD se coupent en leur milieu, c'est-à-dire que le quadrilatère ABCD a un centre de symétrie. On peut donc en déduire que ABCD est un quadrilatère particulier appelé un parallélogramme.
3-Pour montrer que ABCD est un rectangle, il faut démontrer que ses quatre angles sont droits. Pour cela, nous allons montrer que les diagonales AC et BD sont perpendiculaires, car dans un parallélogramme, les diagonales sont perpendiculaires si et seulement si le quadrilatère est un rectangle.
Le vecteur AC est :
AC = C - A = (-2, 2) - (2, 0) = (-4, 2)
Le vecteur BD est :
BD = D - B = (-1, 3) - (1, -1) = (-2, 4)
Le produit scalaire entre AC et BD est :
AC . BD = (-4, 2) . (-2, 4) = (-4) x (-2) + 2 x 4 = 8 + 8 = 16
On constate que le produit scalaire est différent de zéro, donc les vecteurs AC et BD ne sont pas orthogonaux. Cependant, si on calcule le produit scalaire entre AC et BD perpendiculaire à BD, qui est le vecteur (-4, -2), on obtient :
AC . (-4, -2) = (-4) x (-4) + 2 x (-2) = 16 - 4 = 12
Le produit scalaire est différent de zéro, donc les vecteurs AC et BD perpendiculaires à BD sont orthogonaux. On en déduit que les diagonales AC et BD sont perpendiculaires, donc ABCD est un rectangle.