Réponse :

x⁴ + (m-2) x² + m + 1 = 0

Déterminer les valeurs du nombre m pour lesquelles cette équation a :

a) quatre solutions distinctes

on pose  X = x² ; l'équation devient ; X² + (m-2) X + m+1 = 0

pour qu'il y ait 4 solutions distinctes il faut que Δ soit strictement positif

   Δ = (m-2)² - 4(m+1) > 0

       = m² - 4 m + 4 - 4 m - 4 > 0

       = m² - 8 m > 0  ⇔ m(m - 8) > 0

m      - ∞                  0                  8                   + ∞

m                  -          0         +                   +

m-8              -                      -         0         +

P                   +          0        -          0         +

m < 0 ou m > 8  ⇔ m ∈ ]- ∞ ; 0[U]8 ; + ∞[

b)  deux solutions distinctes

il faut que Δ = m(m- 8) = 0  ⇔ m = 0  ou m = 8, on a une solution en X

X = - b/2a = 2/2 = 1  ⇔ x² = 1 ⇔ x = 1 ou x = - 1

c) trois solutions distinctes

pour qu'il y ait 3 solutions distinctes, il faut que m + 1 = 0 ⇔ m - 1

⇔ x⁴ - 3 x² = 0 ⇔ x²(x² - 3) = 0 ⇔ x² = 0 ⇔ x = 0  ou  x² - 3 = 0

⇔ x = √3 ;  x = - √3    

Explications étape par étape