Réponse :

g(x) = 1/(- 7 x³ - 3 x² + 2 x + 5)

1) calculer  g '(x)

    g '(x) = - ( - 21 x² - 6 x +2)/(- 7 x³ - 3 x² + 2 x + 5)²

             = (21 x² + 6 x - 2)/(- 7 x³ - 3 x² + 2 x + 5)²

2) écrire l'équation de la tangente au point d'abscisse 3

   l'équation de la tangente est :  y = g(3) + g '(3)(x - 3)

g '(3) =   (21 (3)² + 6 (3) - 2)/(- 7 (3)³ - 3 (3)² + 2 (3) + 5)²

       = (189 + 18 - 2)/(- 189 - 27 + 6 + 5)²

       = 205/205² = 1/205

g (3) = 1/(- 7 (3)³ - 3 (3)² + 2 (3) + 5) = 1/205

    y = 1/205 + 1/205 (x - 3)

    y = 1/205) x - 2/205

3) résoudre  l'équation g '(x) = 0

    (21 x² + 6 x - 2)/(- 7 x³ - 3 x² + 2 x + 5)² = 0  ⇔ 21 x² + 6 x - 2 = 0

Δ = 36 + 168 = 204 ⇒ √204 ≈ 14

   x1 = - 6+14)/42 = 8/42 = 4/21

   x2 = - 6 - 14)/42 = - 20/42 = - 10/21

4) Résoudre g '(x) < 0

x       - ∞                      - 10/21                        4/21                       + ∞

g '(x)                  +                0              -              0              +

l'ensemble des solutions  de g '(x) < 0  est   S = ]- 10/21 ; 4/21[

Explications étape par étape