Explications étape par étape:

Pour montrer que 2 ≤ x ≤ 3, il suffit de montrer que 8 ≤ x² + 2x ≤ 15 et de démontrer que ces inégalités entraînent nécessairement 2 ≤ x ≤ 3.

Commençons par écrire l'inégalité 8 ≤ x² + 2x ≤ 15 sous une forme plus simple en factorisant le terme x² + 2x :

(x + 1)(x + 1) ≤ 15

En utilisant la propriété commutative de la multiplication, on peut écrire cette inégalité sous la forme suivante :

(x + 1)(x + 1) ≤ 15

En remarquant que le produit (x + 1)(x + 1) est toujours positif, on peut écrire cette inégalité sous la forme suivante :

x + 1 ≤ 3,5

Enfin, en utilisant la propriété réciproque de l'inégalité, on peut écrire cette inégalité sous la forme suivante :

x ≤ 2,5

On en déduit que 2 ≤ x ≤ 3, ce qui prouve la proposition.