Réponse :

a) montrer que la somme des aires des triangles SDP et PCQ vaut 6 x - x²

SDP ⇒ A1 = 1/2(x(6 - x) = 3 x - x²/2

PCQ ⇒ A2 = 1/2(x(6 - x)

A1 + A2 = 2 *(3 x - x²/2 = 6 x - x²

b) démontrer en fonction de x les aires des triangles SAR et RBQ

SAR ⇒ A3 = x/2

RBQ ⇒ A4 = 1/2(5(6 - x)) = 15 - 5x/2  

c) en déduire que l'aire A(x) de PQRS est A(x) = x² - 4 x + 21

A(x) = 36 -(A1+A2+A3+A4)

       = 36 - (3 x - x²/2 + 3 x - x²/2 + x/2 + 15 - 5 x/2)

       = 36 - (- x² + 6 x - 2 x + 15)

       = 36 -(- x² + 4 x + 15)

       = 36 + x² - 4 x - 15

       = x² - 4 x + 21

2)  vérifier que pour tout x ∈[0 ; 6]  A(x) = (x-2)²+ 17

      A(x) = x² - 4 x + 4 - 4 + 21

             = (x² - 4 x + 4) - 4 + 21

             = (x-2)² + 17

 3) a) résoudre A(x) = 21  interpréter les solutions dans le cadre de ce problème

A(x) = x² - 4 x + 21 = 21 ⇔ x² - 4 x = 0 ⇔ x(x - 4) ⇒ x = 0  ; x = 4

quand x prend la valeur 0 ou la valeur 4 cm ; l'aire du quadrilatère PQRS vaut 21 cm²

b) montrer que pour tout réel x A(x) ≥ 17 en déduire l'aire minimale ainsi x

A(x) = (x - 2)² ≥ 0 ⇔ (x -2)² + 17 ≥ 17  

puisque  (x-2)² + 17 = A(x) ⇒ donc A(x) ≥ 17

l'aire minimale est Amin = 17 cm²  cette valeur minimale de l'aire de PQRS est atteinte pour x = 2 cm

4) compléter le tableau

x       0     0.5         1      1.5        2     2.5      3      3.5       4           5          6

A(x)   21    19.25    18     17.25    17    17.25   18    19.25    21         26      33

b) je vous faire le graphique

Explications étape par étape