Réponse :

a) déterminer une racine entière de f

f(x) = 2 x³ - x² - 7 x + 6

f(1) = 2 - 1 - 7 + 6 = 8-8 = 0  donc  x = 1 est une racine entière de f

2) trouver 3 réels a,b et c tels que pour tout x

             f(x) = (x-r)(a x²+ b x + c)

                   = a x³ + b x² + c x - ar x² - br x - cr

                   = a x³ + (b - ar) x² + (c - br) x - cr

a = 2

b - ar = - 1 ⇒ b = - 1 + 2r   pour r = 1 ⇒ b = - 1+2 = 1

c - br = - 7

- cr = 6 ⇒ cr = - 6 ⇒ c = - 6

Donc pour r = 1

b = 1  et  c = - 6

c) en déduire une factorisation de f en produit de fonctions affines

     f(x) = (x-1)(2 x²+ x - 6) ⇔ f(x) = (x-1)(2 x - 3)(x + 2)

d) résoudre l'inéquation f(x) > 0

x             - ∞                   - 2                   1                   3/2                 + ∞  

x- 1                       -                      -          0        +                    +

2 x - 3                  -                      -                     -          0         +  

x + 2                    -              0       +                    +                     +

f(x)                        -              0       +           0       -         0          +

L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) > 0 est  S =]-2 ; 1[U]3/2 ;+∞[  

Explications étape par étape