Réponse:

Pour étudier la dérivabilité de chacune des fonctions et trouver l'éventuelle valeur du nombre dérivé, vous devrez calculer les dérivées de ces fonctions et évaluer ces dérivées aux points spécifiques mentionnés. Voici les calculs pour chaque fonction :

1. Pour la première fonction, f(x) = 3 / (x - 1), le domaine de dérivabilité est D₁ = ]1; +∞ [. Calculons la dérivée de f(x) en utilisant la règle de la dérivation du quotient :

f'(x) = [0 * (x - 1) - 3 * 1] / (x - 1)^2 = -3 / (x - 1)^2

Maintenant, trouvons la valeur du nombre dérivé en x = 2 :

f'(2) = -3 / (2 - 1)^2 = -3 / 1 = -3

Donc, la fonction est dérivable en x = 2, et la valeur du nombre dérivé est -3.

2. Pour la deuxième fonction, f(x) = √√(x + 1), le domaine de dérivabilité est D = [-1; +∞[. Calculons la dérivée de f(x) en utilisant la règle de la dérivation de la racine carrée composée :

f'(x) = (1/2) * (1/2) * (x + 1)^(-1/2) * 1 = (1/4) * (x + 1)^(-1/2)

Maintenant, trouvons la valeur du nombre dérivé en x = -1 :

f'(-1) = (1/4) * (-1 + 1)^(-1/2) = (1/4) * 0 = 0

Donc, la fonction est dérivable en x = -1, et la valeur du nombre dérivé est 0.

3. Pour la troisième fonction, f(x) = |x|, le domaine de dérivabilité est Df = R (partout). C'est parce que la fonction est la valeur absolue de x, et elle est dérivable partout sauf en x = 0. À 0, il y a un point anguleux, donc pas de nombre dérivé à cet endroit.

En résumé :

1. La fonction f(x) = 3 / (x - 1) est dérivable en x = 2, et la valeur du nombre dérivé est -3.

2. La fonction f(x) = √√(x + 1) est dérivable en x = -1, et la valeur du nombre dérivé est 0.

3. La fonction f(x) = |x| est dérivable partout sauf en x = 0, où il n'y a pas de nombre dérivé.