Réponse :

a) quel est l'ensemble de définition de f

        Df = [0 ; 6]

 b) exprimer MN puis MP en fonction de x

AI = AM+ MI

BI = BN + NI

.............................................

AI+BI = AM+BN + MI+NI

AB = 2 x + MN ⇒ MN = AB - 2 x

MN = AB - 2 x = 12 - 2 x

on sait que AB = AI+BI

Explications étape par étape

exprimer MP en fonction de x

soit IC , la hauteur du segment AB

le triangle AIC est rectangle en I ⇒ théorème de Pythagore

AC² = AI²+IC² ⇒ IC² = AC² - AI² = 12² - 6² = 144 - 36 = 108

⇒ IC = √108 = √36*3 = 6√3

(MP) // (IC) ⇒ théorème de Thalès

AM/AI = MP/IC ⇒ MP = AM*IC/AI = x * 6√3/6 = x√3

⇒ MP = x√3  

en déduire l'expression algébrique de f(x)

f(x) = x√3 * (12 - 2 x) = 12 x√3 - 2 x²√3

⇒ f(x) = (12√3) x - (2√3) x²

         = 2√3( 6 x - x²)

c) calculer f(3)

f(3) = 2√3(18 - 9) = 18√3

puis vérifier pour tout x ∈[0 ; 6[

f(x) - f(3) = - 2√3(x-3)²

f(x) - f(3) = 2√3(6 x - x²) - 18√3

             = - 2√3 x² + 12√3 x - 18√3

             = - 2√3(x² - 6 x + 9)

             = - 2√3(x - 3)²

d) en déduire que f(3) est le maximum de f sur [0 ; 6[

f(x) - f(3) = - 2√3(x - 3)² ⇒ f(x) = - 2√3(x - 3)² + f(3)

f(x) est une forme canonique  de la forme a(x - α)² + β

où β = f(α) ⇒ a(x - α)² + f(α)   où a < 0 ⇒ f(α) représente le maximum de la fonction f  donc f(3) représente le maximum de la fonction f

e) quelles sont les dimensions du rectangle d'aire maximale

pour x = 3 ⇒ MN = 12 - 6 = 6

                ⇒ MP = 3√3